Die Normale einer Ellipse möglichst klein? -> Facharbeit

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Gast15112016 Auf diesen Beitrag antworten »
Die Normale einer Ellipse möglichst klein? -> Facharbeit
Meine Frage:
Hallo.
Ich hänge gerade mächtig an meiner Facharbeit, ich schreibe über die japanische Tempelgeometrie (=Sangaku). Eigentlich ganz interessant usw, aber das soll jetzt nicht meine Frage sein.

Es gibt nun eine Aufgabe, in der die Normale einer Ellipse möglichst klein werden soll, für den Fall 2b^2 < a^2 (also nicht die nahe liegende Lösung, dass es 2b wäre).
Die zwei Punkte, die entstehen heißen dann PQ. ^^

Meine Ideen:
Ich weiß, dass ich PQ ableiten muss um das Minimum zu erhalten.
Mein Problem ist aber, dass ich einfach keine Werte für P und Q auf die Reihe bekomme.
Hier ( http://mathworld.wolfram.com/EllipseTangent.html ) wird genau 'meine' Aufgabe behandelt. Bis (6) ist es für mich ein riesiges Fragezeichen.
Ich verstehe nicht, wieso:
Q(t) = (a cost' ; b sint'). Also wieso t abgeleitet und nicht eine andere Variable?
Wie kommen die auf dieses t'? Woher kommt plötzlich dieses N(t)?

Ich wäre sooo glücklich, wenn mir jemand von euch helfen könnte. smile
wisili Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Die Normale einer Ellipse möglichst klein? -> Facharbeit
[attach]17043[/attach]

Einen Einstieg habe ich damit nachgespielt.

N(t) ist einfach eine Abkürzung für den fürchterlichen Zähler.

(Solve liefert zwar 4 Lösungen, ich habe aber nur die zweite (+,-) dargestellt, wie Wolfram.)

Die Ellipsenpunkte P und Q werden in Paramterform beschrieben. Der Parameterwert t (die «Zeit» t) beschreibt direkt P. Q wird natürlich durch eine andere Zeit t' beschrieben. Das nullgesetzte Skalarprodukt erzwingt einen Zusammenhang zwischen den beiden Werten t' und t.
Gast15112016 Auf diesen Beitrag antworten »

vielen Dank soweit!
Also heißt das dann, dass t' nicht das abgeleitete t ist, sondern einfach nur eine andere 'Zeit'?

Wo habe ich denn hier ein Skalarprodukt? Ich hatte das auch schon in Erwägung gezogen, wegen senkrecht auf Tangente, das hat dann aber alles nur noch viel komplizierter gemacht.

Dass es diese Lösung sein muss ist ja wegen t innerhalb des ersten Quadranten, soweit ich mich erinnern kann.

Also wurde dann quasi die Parameterform auf die parameterfreie umgeschrieben (via MuPAD oder was für ein Zauberprogramm du da hast Augenzwinkern ) und dann kommt das von dir beschriebene raus?
Oder wäre das dann erst d(t)?
Taucht bei deinem Einstieg jetzt schon N(t), also der Zähler auf?


Tut mir Leid wenn ich etwas wirr' frage, ich bin heute am Ende meiner Fähigkeiten, bin 6Std nur über Sangaku-Problemen gehangen, mein Kopf raucht.
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, t' ist keine Ableitung, bloss eine andere Zeit als t.
Das Sklarprodukt (P-Q)*P' muss null geben. In der verwendeten Software von Wolfram (Mathematica) heisst es «Dot».

Mein Output stellt erst t' als Bruch (mit N(t) im Zähler) dar.
Beim Einsetzen kam ich aber auch nicht auf Wolframs relativ «kleine» Formel und muss jetzt schlafen gehen.
Gast15112016 Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, oke. Langsam sehe ich ein Licht am Ende des Tunnels.

Was ist P'? Die Tangente durch den Punkt P?
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, P' ist die Ableitung des t-abhängigen Vektors P und ist selber ein Vektor mit Richtung der Tangente in P.
 
 
Gast15112016 Auf diesen Beitrag antworten »

Die nächsten Schritte erhalten ich, wenn ich P-Q in ein Programm reinschmeiße und t' durch das oben herausgefundene ersetze?
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, genau nach Wolframs Vorgehen. Ich habe es mit Mathematica, zwar mit etlicher Mühe, bis zur Formel (11) nachgeprüft. Aber die Software hat bei trigonometrischen und Wurzel-Umformungen grosse Schwächen gezeigt. Wahrscheinlich hätte ich es ohne CAS schneller geschafft ... Aufwändig ist es aber schon. Vielleicht wären kartesische Koordinaten bequemer, anstelle der Parametrisierung; dann fiele wenigstens die Trigonometrie weg.
Gast15112016 Auf diesen Beitrag antworten »

Oke, dann kann ich jetzt endlich alles nachvollziehen.

Ich danke dir von ganzem Herzen, wirklich. Gott
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