Messbare Funktion fast-überall stetig ?

08.12.2010, 00:53

Benjomatico

Messbare Funktion fast-überall stetig ?

Meine Frage:
Hallo Matheboard.
Meine Frage richtet sich an diejenigen, die mit Analysis 3, insbesondere mit Maßtheorie vertraut sind. Allerdings ist der Teil, der mir Probleme bereitet, eigentlich Analysis 1 Stoff.
Die Aufgabe, die es zu beweisen (oder zu widerlegen) gilt, lautet:

Sei f: $\begin{eqnarray*} R^{n} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ R messbar. Dann ist f L(1)-fast überall stetig (d.h es gibt eine Nullmenge N aus $\begin{eqnarray*} R^{n} \end{eqnarray*}$ , sodass f eingeschränkt auf $\begin{eqnarray*} R^{n} \end{eqnarray*}$ ohne N stetig ist ). Ich versuche meinem Instinkt zu folgen und diese Aussage zu beweisen:
Der Satz von Lusin ist uns bereits bekannt, das heißt, ich kann aus der Messbarkeit von f folgern, dass es für alle Natürlichen Zahlen k eine Menge C(k) aus $\begin{eqnarray*} R^{n} \end{eqnarray*}$ gibt, sodass f auf C(k) stetig ist, C(k) abgeschlossen (!!) und Lebesgue-Maß( $\begin{eqnarray*} R^{n} \end{eqnarray*}$ \C(k)) $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ 1/k. Nun betrachte ich mir die abzählbare Vereinigung dieser abgeschlossenen Mengen, also $\begin{eqnarray*} \bigcup\limits_{k=1}^\infty \end{eqnarray*}$ C(k). Es ist dann klar, dass Lebesgue-Maß( $\begin{eqnarray*} R^{n} \end{eqnarray*}$ \ $\begin{eqnarray*} \bigcup\limits_{k=1}^\infty \end{eqnarray*}$ C(k))= 0. Nun muss ich noch zeigen, dass f auf $\begin{eqnarray*} \bigcup\limits_{k=1}^\infty \end{eqnarray*}$ C(k)stetig ist. Hierbei spielt offensichtlich die Abgeschlossenheit eine entscheidende Rolle, da ja zum Beispiel die über ganz R definierte Charakteristische Funktion von Q (den Rationalen Zahlen) sowohl auf Q als auch auf R\Q eingeschränkt stetig ist, auf R = Q $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ R/Q jedoch nicht. Nun sind aber weder Q noch R/Q in R abgeschlossen, und somit kein Gegenbeispiel zu folgender Aussage, die ich allgemein beweisen will: Sei f $\begin{eqnarray*} R^{n} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ R so, dass es für alle k aus $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ eine Abgeschlossene Teilmenge C(k) aus R gibt, sodass f eingeschränkt auf C(k) stetig. Dann ist f eingeschränkt auf $\begin{eqnarray*} \bigcup\limits_{k=1}^\infty \end{eqnarray*}$ C(k) stetig .

Meine Ideen:
In meinem Ansatz benutze ich das Grenzwertkriterium der Stetigkeit. Sei also x* $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \bigcup\limits_{k=1}^\infty \end{eqnarray*}$ C(k) stetig .Dann gibt es ein j $\begin{eqnarray*} \in\mathbb N \end{eqnarray*}$ , sodass x* $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ C(j). Betrachte nun eine beliebige Teilfolge $\begin{eqnarray*} {x_{n}} \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} \bigcup\limits_{k=1}^\infty \end{eqnarray*}$ C(k), die gegen x* konvergiert. Dann, so vermute ich, gibt es höchstens entlich viele Folgenglieder, die nicht in C(j) liegen, also ein N $\begin{eqnarray*} \in\mathbb N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_{m} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ C(j) für alle m $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ N. Kann ich das direkt aus der Abgeschlossenheit der einzelnen Mengen C(k) folgen und habe ich gerade nur ein unglaublich großes Brett vorm Kopf, oder ist meine Annahme oder schlimmer noch, meine Aussage schlichtweg falsch. Bitte um schnelle Rückmeldung und entschulige mich jetzt schon einmal für das schlimme Schriftbild, ich habe noch nie mit Latex geschrieben smile

08.12.2010, 16:07

gonnabphd

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Hi,

Erstmal ein $\begin{eqnarray*} \text{\LaTeX} \end{eqnarray*}$ - Tipp:

Zitat:

Sei f: $\begin{eqnarray*} R^{n} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ R messbar.

Schöner wäre:

code:
1:	Sei [latex]f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}[/latex] messbar.

ergibt

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ messbar.

Gleich noch ein Beispiel:

Zitat:

... Mengen, also $\begin{eqnarray*} \bigcup\limits_{k=1}^\infty \end{eqnarray*}$ C(k). Es ist ...

Besser $\begin{eqnarray*} \bigcup\limits_{k=1}^\infty C(k) \end{eqnarray*}$

code:
1:	[latex]\bigcup\limits_{k=1}^\infty C(k)[/latex]

bzw. $\begin{eqnarray*} \bigcup\limits_{k=1}^\infty C_k \end{eqnarray*}$

code:
1:	[latex]\bigcup\limits_{k=1}^\infty C_k[/latex]

Ich denke damit solltest du sehen, wie es gemacht wird.

Nun zum eigentlichen Problem. Mit deiner Idee $\begin{eqnarray*} C := \bigcup_{k=1}^\infty C_k \end{eqnarray*}$ zu definieren, sollte das Problem eigentlich schon gelöst sein.

Zu zeigen:

1) Das Komplement von C ist Nullmenge
2) An jedem Punkt in C ist die Funktion f stetig.

Ich sehe übrigens nicht, wo man die Abgeschlossenheit der $\begin{eqnarray*} C_k \end{eqnarray*}$ benötigen sollte.

08.12.2010, 19:35

Benjomatico

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Danke für den schnelle Rückmeldung und die Latexschreibtips, aber das Problem ist mmN immer noch nicht gelöst.
Dass das Komplement von C= $\begin{eqnarray*} \bigcup\limits_{k=1}^\infty C(k) \end{eqnarray*}$ eine Nullmege ist, ist leicht und habe ich bereits gezeigt, aber dass f auf C stetig ist folgert nicht allein aus der Tatsache, dass f auf jedem einzelnen $\begin{eqnarray*} C_{k} \end{eqnarray*}$ stetig ist, dafür habe ich oben bereits ein Beispiel genannt. Daher MUSS die Abgeschlossenheit der $\begin{eqnarray*} C_{k} \end{eqnarray*}$ eine Rolle spielen

08.12.2010, 21:22

gonnabphd

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Ah, du hast natürlich recht, hatte mich da "verdacht". Freude

Ich muss dann nochmal drüber nachdenken. Aber - wenn wir mal einen Schritt zurücktun:

Wäre die Aussage wahr, so würde man doch annehmen, dass der Satz von Lusin so formuliert würde (denn diese Aussage wäre ja stärker als der jetzige Satz von Lusin)... Augenzwinkern

Das würde bedeuten, dass wir lieber nach einem Gegenbeispiel Ausschau halten sollten.

smile

08.12.2010, 21:52

Cugu

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Zitat:

Sei f $\begin{eqnarray*} R^{n} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ R so, dass es für alle k aus $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ eine Abgeschlossene Teilmenge C(k) aus R gibt, sodass f eingeschränkt auf C(k) stetig. Dann ist f eingeschränkt auf $\begin{eqnarray*} \bigcup\limits_{k=1}^\infty \end{eqnarray*}$ C(k) stetig .

Man kann sich sehr leicht überlegen, dass das so im Allgemeinen falsch ist, z.B. mit $\begin{eqnarray*} C(1)=\{0\}, C(k)=\left\{\frac{1}{k}\right\} \text{ für } k>1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(0)=0, f\left(\frac{1}{k}\right)=k \end{eqnarray*}$ . Offen müssten sie sein die $\begin{eqnarray*} C(k) \end{eqnarray*}$ ...

Leider hilft das nicht bei eurer Suche nach einem Gegenbeispiel.

08.12.2010, 23:23

Benjomatico

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Danke sehr für dieses wunderbar einfache Gegenbeispiel (und das mir auf Gedeih und Verderb nicht einfallen wollte böse

), allerdings ist die dort betrachtete Menge eine Vereinigung von Punkten (=Nullmengen), die $\begin{eqnarray*} C_{k} \end{eqnarray*}$ allerdings, über die ich bei dem versuchten Beweis vereinige, sind überabzählbar große abgeschlossene Mengen. Es bleibt wie es ist: Als Gegenbeispiel eine Funktion zu konstruieren, die auf einer überabzählbar großen Menge unstetig ist und troztdem Messbar, scheint mir höchst kompliziert. Mein Instinkt sagt mir, dass diese Aussage richtig ist. Auf der Wikipediaseite zum Satz von Lusin existiert auch dieser vielsagende, aber leider weiterhin unkommentierte Satz ''...Der Satz von Lusin zeigt nun, dass eine messbare Funktion „fast stetig“ ist..''...... Verdammte Hacke, ich komm hier einfach nicht weiter traurig

09.12.2010, 01:10

gonnabphd

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1) Man sollte sich nicht allzu sehr auf seinen "Instinkt" verlassen in der Mathematik, vor allem, wenn es gute Gründe gibt, dass das Bauchgefühl falsch liegt...

2) Ich glaube, ich habe ein Gegenbeispiel gefunden. Betrachte dazu die charakteristische Funktion einer fetten Cantormenge (das sind Mengen, die man konstruiert wie Cantormengen, aber mit Mass >0 - wobei das Komplement immernoch offen ist und dicht liegt).

n8

Schläfer

14.12.2010, 13:49

benjomatico

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So, nachdem ich diese ziemlich komplizerte Mittelviertel-Cantormenge konstruiert habe, bei der ich in jedem Iterationsschritt statt 1/3 1/4 der Restmenge aus der Mitte entferne, und auch bewieses habe, dass diese Menge Lebesgue-Maß 1/2 hat, habe ich die Charakteristische Funktion dieser Menge als Gegenbeispiel angegeben. War auch richtig soweit, nur hat mir mein Tutor angegeben, die Charakteristische Funktion der Rationalen Zahlen hätte als Gegenbeispiel auch gereicht. Jetzt ich aber vollständig verwirrt, weil diese Funktion doch sehr wohl fast-überall stetig ist ( eingeschränkt auf R/Q, Q ist Lebesgue-Nullmenge). Kann mir jemand bitte sagen,was ich hier falsch verstanden habe?

14.12.2010, 15:21

gonnabphd

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Ok, dann ist diese Definition von fast überall stetig

Zitat:

Sei f: $\begin{eqnarray*} R^{n} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ R messbar. Dann ist f L(1)-fast überall stetig (d.h es gibt eine Nullmenge N aus $\begin{eqnarray*} R^{n} \end{eqnarray*}$ , sodass f eingeschränkt auf $\begin{eqnarray*} R^{n} \end{eqnarray*}$ ohne N stetig ist ).

nicht die Defintion aus deiner Vorlesung. Ich glaube normalerweise definiert man Ganze das so:

f ist stetig fast überall: Die Menge der Unstetigkeitsstellen ist eine Nullmenge.

f ist gleich einer stetigen Funktion fast überall: Es gibt eine stetige Funktion g mit $\begin{eqnarray*} \lambda\{f(x) \ne g(x)\}=0 \end{eqnarray*}$ .

Die charakteristische Funktion von Q ist ein Gegenbeispiel zur Implikation f integrierbar => (1). Deine Konstruktion ist ein Gegenbeispiel zu f integrierbar => (1), f integrierbar => (2).

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