Limes Superior

08.12.2010, 08:25

Lena Lena Lena

Limes Superior

Meine Frage:
Es sei C E R gegeben und (an) eine Folge, deren Folgenglieder ab einem bestimmten Index N E N an < C gilt. Zeigen Sie, dass sich diese Eigenschaft auf den Limes Superior überträgt, d.h. dass auch lim sup an<C gilt.

Meine Ideen:
Also der Limes Superior ist ja der größte Häufungswert der Folge...und Häufungswert heißt eine Teilfolge der Folge konvergiert gegen den Häufungwert..in dem Fall dem größten..
Mir fehlt irgendwie der Ansatz wie ich den Beweis anfangen soll....wäre super wenn mir jmd weiterhelfen könnte smile

08.12.2010, 08:40

system-agent

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Muss in der Behauptung nicht $\begin{eqnarray*} \limsup_{n\to\infty}a_n\leq C \end{eqnarray*}$ stehen? verwirrt

Nach Definition ist $\begin{eqnarray*} \limsup_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}\sup\{a_k\,\,:\,\, k\geq n\} \end{eqnarray*}$ .

Das heisst du musst die Folge $\begin{eqnarray*} \sup\{a_k\,\,:\,\, k\geq n\} \end{eqnarray*}$ für grosse $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ untersuchen.
Angenommen, dass $\begin{eqnarray*} a_n\leq C \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq N \end{eqnarray*}$ . Was kannst du dann über die Folge $\begin{eqnarray*} b_n:=\sup\{a_k\,\,:\,\, k\geq n\} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\geq N \end{eqnarray*}$ sagen?

08.12.2010, 09:11

Lena Lena Lena

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Danke für die Antwort =)

Ja du hast recht..es müsste kleiner gleich heißen.

Hmm des würde ja heißen, dass bn nicht kleiner gleich C ist oder?
Obwohl durch das gleich Zeichen könnte n gleich k sein?

08.12.2010, 09:26

system-agent

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Zitat:

Original von Lena Lena Lena
Hmm des würde ja heißen, dass bn nicht kleiner gleich C ist oder?

Wieso nicht kleiner? Was spricht gegen $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ ?

08.12.2010, 09:34

Lena Lena Lena

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Okay hast Recht, war ein Denkfehler von mir. Spricht natürlich nichts gegen kleiner gleich...

Wenn ich die Folge auf große n untersuchen soll, kann ich dann einfach 2n nehmen und versuchen damit einen Beweis zu führen?

08.12.2010, 09:42

system-agent

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Mit dieser Feststellung hast du es doch bereits bewiesen.
Es gilt, dass $\begin{eqnarray*} b_n\leq C \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq N \end{eqnarray*}$ . Damit:
$\begin{eqnarray*} \limsup_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}b_n\leq ? \end{eqnarray*}$ .