Erwartungswert der Summe ist gleich Summe der Erwartungswerte

08.12.2010, 09:10	Gittetier	Auf diesen Beitrag antworten »
Erwartungswert der Summe ist gleich Summe der Erwartungswerte Meine Frage: Hallo, ich habe eine Frage zu Grundlagen der Inferenz. Warum gilt eigentlich folgender Satz? $\begin{eqnarray} E[\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n X_{i}]= \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n E[X_{i}] \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich habe dazu folgende Überlegung angestellt, und frage mich, ob die irgendwie stimmt oder nicht. Und wenn nicht, wie es dann ist. X: eine Stichprobenfunktion mit $\begin{eqnarray} (X_{1}, X_{2} .... X_{n}) \end{eqnarray}$ n: Zahl der Variablen innerhalb einer Stichprobe; indiziert mit i m: Zahl der möglichen Ausprägungen einer Variable $\begin{eqnarray} X_{n} \end{eqnarray}$ , indiziert mit j $\begin{eqnarray} E[\bar {X}]= E[\frac{1}{n} \sum\limits_{k=i}^n X_{i} ]= \frac{1}{m} \sum\limits_{j=1}^m \left(\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n X_{i} \right)_{j} \\ = \frac{1}{mn} \sum\limits_{j=1}^m \sum\limits_{i=1}^n X_{ij} \\ = \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n \left(\frac{1}{m}\sum\limits_{j=1}^m X_{j} \right)_{i} \\=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n \left(\bar X_{j} \right)_{i} \\= \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n E[X_{i}] \end{eqnarray*}$ Ist es irgendwie so? Vielen Dank schonmal und ich freue mich über Antwort ... Vieloe Grüße Gittetier
08.12.2010, 09:35	Gittetier	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erwartungswert der Summe ist gleich Summe der Erwartungswerte Hallo, ich wollte noch eine Datei zur Illustration meiner Überlegungne hier einfügen, aber es geht irgendwie nicht. Was ich meine ist: Es ist doch eigentlich egal, ob ich zuerst über die Ausprägungen m Aufsummiere und den Durchschnitt bilde und danach über die Variablen Xn oder zuerst über die Variablen und danach über die Ausprägungen. Richtig?

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