Relation:Teilmenge ->reflexsiv,transitiv, antisymmetrisch? |
| 08.12.2010, 10:22 | DieterA | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
| Relation:Teilmenge ->reflexsiv,transitiv, antisymmetrisch? ich bin mir bei einer Aufgabe gerade unsicher... Die Frage lautet: A ist Teilmenge bzw. Untermenge von B. Ist diese Untermengenbezeichnung nun transisitv, reflexsiv oder antisymmetrisch? Ich brauch keine formalen Beweise, sprich eigentlich nur Erläuterungen. Meine Überlegungen waren: A ist Untermenge von B allerdings kann B ja keine Untermenge von A sein, da es ja die "größere" Menge ist. Daher antisymmetrisch. Bei der Transivität hätte ich gesagt...das kann man nicht sagen da ich nur A und B habe und ein C fehlt. Also keine Transitivität. Stimmt das? Die Reflexivität würde heißen A ist Teilmenge von A und B ist Teilmenge von B. Und da bin ich mir nun unsicher. Die Menge A ist aber ja die Menge A, also kein Teil davon. Andererseits ist die Untermenge A ja auch in A enthalten. Ist das nun reflexiv oder nicht? Danke schonmal für eure Antorten. |
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| 08.12.2010, 10:31 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Antisymmetrisch ist nicht (!) das Gegenteil von Symmetrisch. Folgende Relation ist zum Beispiel symmetrisch und antisymmetrisch zugleich : und die Relation . Daher ist deine Begründung , warum die Relation antisymmetrisch ist, falsch. Tatsächlich steckt da aber eine richtige Idee hinter. Wenn und gilt, dann folgt A = B. Wie kann Dir das für die Antisymmetrie helfen?
Definition der Teilemenge : , jetzt die Frage, gilt ? Transitivität : Die Relation ist transitiv. Es ist also zu zeigen : , das machst Du auch mit der Definition der Teilmenge. |
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| 08.12.2010, 10:34 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: Relation:Teilmenge ->reflexsiv,transitiv, antisymmetrisch?
Im Hinblick auf Denkfehler, die dir unterlaufen sind, ist es aber eine gute Idee, formal streng zu arbeiten, denn nur wenn du die Begriffe auch streng handhabst sind die Antworten "eindeutig".
Die Relation ist antisymmetrisch, ja. Aber deine Begründung ist nicht ausreichend. Was bedeutet denn Antisymmetrie?
Nein. Mit diesem "Argument" gäbe es keine Eigenschaft der Transitivität. Eine Relation ist ja immer eine Beziehung "a steht in Relation zu b genau dann, wenn [..]". Wo kein C ist, da nimmst du dir eins! Soll heißen: A, B und C seien Mengen und es gelte A ist Teilmenge von B und B ist Teilmenge von C. Ist dann auch A eine Teilmenge von C?
"Jein". Der zweite Teil mit dem B ist überflüssig. Reflexivität heißt einfach nur: Für alle Mengen A gilt, dass A eine Teilmenge von A ist. Und dies ist, wie du (halbwegs) sagst, der Fall. Um dir dies eindeutig klarzumachen musst du aber formal begründen! Was bedeutet es denn, formal, dass A eine Teilmenge von B ist? Wie ist das definiert? Auch bei der Transitivität musst du schon etwas formal werden, um wirklich zu "beweisen", denn die Aussage ist enorm simpel, aber zu sagen, sie sei trivial, ist ja wiederum kein Beweis. 
Erläuterungen zur Veranschaulichung der Eigenschaften sind schön und gut. Aber Beweise erfordern Formalismus und manchmal hilft Formalismus durchaus auch dem Verständnis. Edit: Da war ich eine Sekunde zu spät. Aber die Beiträge ergänzen sich ja vielleicht ganz gut, da Mazze auch gleich auf den Formalismus etwas weiter eingeht. Dann halte ich mich jetzt vorerst mal raus. 
air |
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| 08.12.2010, 11:03 | DieterA | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Also, dass ich keine formale Beweise wollte, hat damit zu tun, dass ich es halt nicht formal erklären soll. Daher brauch ich also mehr "Beschreibungen" warum das so ist bzw. grafisch aufzeigen. Das mit der Transivität habe ich, denke ich, nun verstanden. Wenn A Teilmenge von B ist und B Teilmenge von C dann muss A ja auch Teilmenge von C sein. Bei der Reflexivität dachte ich muss ich schauen, ob A reflexsiv ist und B auch. Warum wird dann hier B außer acht gelassen? Bei der Antisymmetrie hänge ich wohl noch etwas. Wenn A Teilmenge von B und B Teilmenge von A dann folgt A=B. Soweit so gut, das kann ich nachvollziehen. Allerdings ist es doch so, dass B keine Teilmenge von A ist. |
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| 08.12.2010, 11:15 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Allein wegen dieser Frage ist es mehr als verwunderlich, dass Du nicht auf den Formalismus eingehen sollst. Es sei M eine Menge , dann heißt eine Relation reflexiv, wenn für alle auch ist. Betrachtet man jetzt die Relation , dann ist zu zeigen, dass für alle Mengen auch liegt. Sprich, irgendein B wäre hier völlig überflüssig. Wenn Du es Graphisch machen willst : Zeichne irgendeine Menge aufs Papier, von mir aus einen Kreis. Dann ist jede Menge, die Du in den Kreis zeichnest eine Teilmenge des Kreises. Reflexiv : Kannst Du für jede gezeichnete Menge M eine Menge N einzeichnen, die mit M übereinstimmt? (Man darf auch auf dem "Rand" zeichnen) Antisymmetrisch : Wenn Du eine Menge M in eine Menge N zeichnest, und dann die selbe Menge N in die Menge M , sind dann N und M die selben mengen? Transitiv : Wenn Du eine Menge N in eine Menge M zeichnest, und eine Menge S in die Menge N, ist dann die Menge S auch in M? edit : Nochmal zum Verständis beim Zeichnen. Die Teilmengen Relation wird dann durch "kann man in die Menge zeichnen" beschrieben. |
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| 08.12.2010, 11:27 | DieterA | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Danke schonmal euch, so langsam kommt Licht ins Dunkle ;-) Allerdings hab ich die Antisymmetrie noch immer nicht ganz verstanden. Ich zeichne eine Menge M in der Menge N. Die Menge M ist ja aber größer als die Menge N und somit kann ich sie ja nicht in M zeichnen. Das würde ja nur gehen wenn M=N ist. Aber es sind ja unterschiedliche Mengen. |
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| 08.12.2010, 11:29 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Und wieder ein Punkt wo Du den Formalismus brauchst! Es gelten zwei Aussagen : Aussage 1: Ich kann N in M zeichnen Aussage 2: Ich kann M in N zeichnen wenn daraus folgt, dass M = N ist, wäre die Teilmengenbeziehung antisymmetrisch. Beide Aussagen müssen erfüllt sein. Wann können diese Aussagen aber nur erfüllt sein? |
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| 08.12.2010, 11:45 | DieterA | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ja die können nur erfällt sein wenn M=N. Wenn ich jetzt aber die Menge N zeichne mit z.B. (1,2) und die liegt in der Menge M mit (1,2,3,4). Dann sind das ja unterschiedliche Mengen. Ich kann N in M zeichnen. Aber M kann ich nur für (1,2) in N zeichnen. |
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| 08.12.2010, 11:51 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Wie gesagt, für die Antisymmetrie interessiert uns nur der Fall, wenn beide Aussagen erfüllt sind. Wenn eine nicht erfüllt ist, ist es für uns nicht von belang. Das hat Ursachen in der Logik. |
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| 08.12.2010, 12:01 | DieterA | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Okay, A ist Teilmenge von B ist antisymmetrisch wenn A=B. Wenn ja aber A ungleich B ist, wie eben beschrieben ist die Relation nicht antisymmetrisch. Was ist sie dann und warum sagt man dann generall, dass die Relation antisymmetrisch ist? |
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| 08.12.2010, 12:14 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Eine Relation heisst Antisymmetrisch wenn aus und die Eigenschaft a = b folgt. In Worten : Wenn sowohl (a,b) als auch (b,a) in der Relation sind, dann gilt a = b. So, für die Teilmengenbeziehung heißt das, wenn A eine Teilmenge von B ist, und B eine Teilmenge von A ist, dann sind die Mengen A und B gleich. Wenn A eine Teilmenge von B ist, aber B keine Teilmenge von A, dann interessiert uns das nicht für die Antisymmetrie, weil dann nämlich die Voraussetzung dafür nicht erfüllt ist. Folgendes Beispiel : Wenn es Regnet, dann ist die Straße nass. Hier ist die Voraussetzung "wenn es regnet". Wenn es nicht Regnet, können wir dann irgendeine Aussage darüber treffen, ob die Straße nass ist?
Diese Überlegung solltest Du sofort verwerfen. |
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