Spezialfall Matrizen kommutieren

08.12.2010, 10:47

wertixx

Spezialfall Matrizen kommutieren

Hallo zusammen,

ich habe folgendes zu beweisen:

Für

$\begin{eqnarray*} A \in M\left(n * n, K \right), m \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

gilt folgendes:

$\begin{eqnarray*} A^{0} - A^{m} = \left( A^{0}-A\right) \left( \sum\limits_{i=0}^{m-1} A^{i} \right) = \left( \sum\limits_{i=0}^{m-1} A^{i} \right) \left(A^{0} - A\right) \end{eqnarray*}$

Leider steh ich da vollkommen auf dem Schlauch....

Ich vermute dass es irgendwas mit der Invertierbarkeit von Matrizen zu tun haben könnte. Im Allgemeinen gilt ja bei der Matrizenmultiplikation das Kommutativgesetzt nicht, oben allerdings schon. Bei meinen Recherechern bin ich aber auf den Satz $\begin{eqnarray*} A*A^{-1}=A^{-1}*A=E \end{eqnarray*}$ gestoßen. Bin allerdings wie schon erwähnt noch etwas ratlos ... verwirrt

Ein paar Tipps dazu wären echt klasse smile

!!

beste grüße,

wertixx

08.12.2010, 11:30

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Spezialfall Matrizen kommutieren
Das hat nichts mit der Invertierbarkeit zu tun, sondern einfach damit, daß $\begin{eqnarray*} A \cdot A^m = A^m \cdot A \end{eqnarray*}$ ist.

Der Beweis geht leicht mit vollständiger Induktion. smile

Und ab damit in den Hochschulbereich.

08.12.2010, 14:35

wertixx

Auf diesen Beitrag antworten »

Aha, danke schonmal smile

Aber was genau ist denn nun $\begin{eqnarray*} A^m \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} A^0...A^{m-1} \end{eqnarray*}$ ?

Ich hab mich trotzdem schonmal an die vollständige Induktion gewagt, aber ich bleib schon beim Induktionsanfang hängen unglücklich

Induktionsanfang: m=1 (m=0 macht glaub ich keinen Sinn, wegen der oberen Grenze m-1 im Summenzeichen)

$\begin{eqnarray*} A^0-A^1 = (A^0-A) * \sum\limits_{i=i}^{1-1} A^{i} = (A^0-A) * A^0 = A^0 * A^0 - A* a^0 \neq A^0*A^0 - A^0*A = \sum\limits_{i=o}^{1-1} A^i * (A^0-A) \end{eqnarray*}$

Und sorry für das falsche Forum, hab mich vertan.

Edit:

Oh man, bin gerade voll auf der Leitung gestanden: $\begin{eqnarray*} A^m \end{eqnarray*}$ ist einfach nur die m-te Potenz von A Hammer

Dann entspricht $\begin{eqnarray*} A^1=A \end{eqnarray*}$ , oder?. Was ist dann aber $\begin{eqnarray*} A^0 \end{eqnarray*}$ ?

08.12.2010, 14:50

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} A^0 \end{eqnarray*}$ wird, ähnlich wie im Reellen, als Einheitsmatrix definiert. Also $\begin{eqnarray*} A^0 = I \end{eqnarray*}$ . Und ja, A^m ist die m-te Potenz.

08.12.2010, 15:51

wertixx

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, so, das war ja dann doch leichter als gedacht smile

Ich hätte jetzt noch zwei Fragen bezüglich Matripotenzen, die ich für meinen nächsten Beweis benötige.

Gibt es für eine quadratische Matrix A mit $\begin{eqnarray*} A^m=E_n \end{eqnarray*}$ eine anderer Lösung als $\begin{eqnarray*} A=E_n \end{eqnarray*}$ ?
Für Welche Matrix gilt $\begin{eqnarray*} A^m = 0 \end{eqnarray*}$ ?

Dann komm ich vielleicht auf den nächsten Beweis smile

08.12.2010, 15:59

kiste

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von wertixx
Gibt es für eine quadratische Matrix A mit $\begin{eqnarray*} A^m=E_n \end{eqnarray*}$ eine anderer Lösung als $\begin{eqnarray*} A=E_n \end{eqnarray*}$ ?

Ja.

Zitat:

Für Welche Matrix gilt $\begin{eqnarray*} A^m = 0 \end{eqnarray*}$ ?

Da gibt es unendlich viele davon Augenzwinkern

08.12.2010, 16:15

wertixx

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, dann hab ich mir jetzt mal eine Lösung für folgende Aufgabe überlegt, nur kommt mir das etwas zu einfach vor geschockt

Seien $\begin{eqnarray*} A,B \in M(n \times n, K ) \end{eqnarray*}$ Matrizen, für die $\begin{eqnarray*} k, l \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ existieren mit $\begin{eqnarray*} A^k = E_n und B^l = 0 \end{eqnarray*}$ .

Zu beweisen: $\begin{eqnarray*} AB = BA => (A-B) invertierbar \end{eqnarray*}$

Meine Lösung dazu:
$\begin{eqnarray*} A^k = E_n \Rightarrow k=1: A = E_n B^l = 0 \Rightarrow l=1: B=0 \Rightarrow A*B = E_n * B = E_n * 0 = 0 = B * E_n = B*A \Rightarrow A-B = A-0 = A = E_n \Rightarrow (E_n)^{-1} = E_n \end{eqnarray*}$

Aber mich deucht schon dass das so nicht stimmt Big Laugh

Neue Frage »

Antworten »

Spezialfall Matrizen kommutieren

Verwandte Themen