beschränkte Mengen |
| 08.12.2010, 11:30 | Matheblüte | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| beschränkte Mengen a) Urbilder beschränkter Mengen sind beschränkt. b) Bilder beschränkter Mengen sind beschränkt. Meine Ideen: Ich glaube dass a) falsch ist. Gegenbeispiel: Sinusfunktion A= [0,1] f^(-1)(A)0 ]-unendlich,+unendlich[ oder x² bei 0 wäre die Schranke [0,+unendlich[ f^(-1) ]-unendlich,+unendlich[ stimmt das? b) würde ich sagen stimmt. Danke schon mal für euere Hilfe 
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| 08.12.2010, 11:33 | René Gruber | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: beschränkte Mengen a) sieht soweit Ok aus.
Kommt drauf an, von welchen Funktionen du hier sprichst. Ohne Einschränkungen ist auch b) falsch. |
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| 08.12.2010, 11:33 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: beschränkte Mengen Also zu b kann man leicht ein Gegenbeispiel konstruieren.
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| 08.12.2010, 11:36 | Matheblüte | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Angabe: die funktion ist f:reelle Zahlen --> reelle Zahlen eine stetige funktion ist dann b falsch? |
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| 08.12.2010, 11:43 | Matheblüte | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ich glaub ich habe ein gegenbeispiel: x=o und y beliebig stimmt das? |
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| 08.12.2010, 11:45 | Matheblüte | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
oh tut mir leid also sind a und b richtig? |
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| 08.12.2010, 11:45 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Was soll denn das für eine Funktion sein? 
Es kommt jetzt noch darauf an, ob die beschränkte Menge offen oder abgeschlossen ist. Betrachte dazu f(x) = 1/x auf der Menge (0; 1). |
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| 08.12.2010, 11:51 | Matheblüte | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Naja bei f(x)= 1/x darf man ja keine 0 einsetzen nur die 1 1/1= 1 1/0 geht nicht |
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| 08.12.2010, 12:04 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich meinte mit (0; 1) das offene Intervall 0 < x < 1. |
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| 08.12.2010, 12:12 | Matheblüte | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also es wird ja nie die 0 erreicht für ]0,1[ egal wie klein ich x mache die funktion 1/x ist monoton fallend... |
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| 08.12.2010, 12:14 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, und was kannst du über die Bildmenge sagen? |
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| 08.12.2010, 12:16 | Matheblüte | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Bildmenge ist doch dann eine offene Menge weil ja von ]+unendlich,1[ |
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| 08.12.2010, 12:18 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Richtig. Und ist diese beschränkt? |
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| 08.12.2010, 12:21 | Matheblüte | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich würde sagen ja weil ja die y= 1 nie erreicht wird also ist sie von unten beschränkt stimmt das? |
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| 08.12.2010, 12:55 | Matheblüte | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
noch ganz kurz eine Frage f:reelle Zahlen --> reelle Zahlen eine stetige Funktion b) Bilder beschränkter Mengen sind beschränkt Also ist diese aussage richtig für alle erdenkbaren beschränkten Mengen? Weil wenn ich jetzt f(x)= 1/x betrachte im Intervall ]0,1[ dann ist ja x= ]0,1[ offen f(x) =]1,+unendlich[ offen und bei 1 hat es ein Infimum (beschränkt) |
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| 08.12.2010, 12:58 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Eine Menge heißt beschränkt, wenn sie sowohl von oben als auch von unten beschränkt ist. Die Menge ist nur nach unten beschränkt, und damit unbeschränkt. |
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| 08.12.2010, 13:14 | René Gruber | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@klarsoweit Dein Gegenbeispiel ist aber keines im Sinne
denn deine Funktion f(x)=1/x ist im Nullpunkt nicht stetig und auch nicht stetig erweiterbar. 
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| 08.12.2010, 13:27 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo! 
Ich betrachte die Funktion auf dem Intervall (0; 1). Dort ist sie stetig. Und ob sie nach x=0 stetig erweiterbar ist oder nicht, ist völlig belanglos. |
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| 08.12.2010, 19:14 | René Gruber | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hmm, aber es ist ja explizit von einer stetigen Funktion die Rede - die darf man nicht einfach selbst auf ein Intervall einschränken, sondern muss sie dann schon auf ganz stetig fortsetzen, damit sie als (Gegen-)Beispiel tauglich ist.
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| 08.12.2010, 22:16 | Matheblüte | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ja aber gibrt es für diese Aussage jetzt ein gegenbeispiel oder nicht? |
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| 08.12.2010, 23:46 | René Gruber | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn für Stetigkeit auf ganz vorausgesetzt werden kann, dann gibt es kein Gegenbeispiel, d.h. b) ist dann richtig. Die oben vielleicht noch bestehende Kontroverse diskutieren wir aus, sobald klarsoweit wieder da ist.
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| 09.12.2010, 09:35 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn die Funktion auf ganz R betrachtet wird, dann widerspricht sich die Aufgabe selbst, denn bei b geht es um das Bild einer beschränkten Menge. Und R ist nun mal nicht beschränkt. |
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| 09.12.2010, 10:07 | René Gruber | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es ist eine ganz klar gestellte Aufgabe, die sich keinesfalls selbst widerspricht: Gegeben ist eine stetige Funktion - wie immer in solchen Fällen bezieht sich dieses "stetig" dann auf den gesamten Definitionsbereich. Betrachtet man nun das Bild einer beschränkten Menge , dann kann man aufgrund der Beschränktheit ein Intervall mit finden. Nun ist nach dem Satz von Weierstraß dann auch beschränkt und somit wegen dann auch beschränkt. P.S.: Die og. Diskussion fällt wohl leider aus, aber das liegt nicht an mir.
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