Sigma-Algebra über Mengensystem

08.12.2010, 12:40

NastyNat

Sigma-Algebra über Mengensystem

Meine Frage:
Ich habe eine Frage zu der Definition von Sigma-Algebren über bestimmten Mengensystemen.

Und zwar, sei z.B. $\begin{eqnarray*} \Omega := \mathbb R \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} E:= \left\{ \left\{ x\right\}:x\in \mathbb R \right\} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Dann ist doch die von E erzeugte Sigma-Algebra:

$\begin{eqnarray*} \sigma(E)= \left\{ \left\{ \right\}, \omega , E , E^{C} \right\} \end{eqnarray*}$

Doch Was ist dann das Komplement von E ?

08.12.2010, 13:09

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Sigma-Algebra über Mengensystem

Zitat:

Original von NastyNat
$\begin{eqnarray*} \sigma(E)= \left\{ \left\{ \right\}, \omega , E , E^{C} \right\} \end{eqnarray*}$

Das ist formaler Unsinn. Wie du selbst bemerkt hast ist $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ ein Mengensystem.

Dieses Mengensystem soll eine Sigma-Algebra erzeugen, das bedeutet im Klartext, dass $\begin{eqnarray*} \sigma(E) \end{eqnarray*}$ die kleinste Sigma-Algebra ist, die das Mengensystem $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ enthält, also für die $\begin{eqnarray*} E\subset\sigma(E) \end{eqnarray*}$ gilt.

Über diese Sigma Algebra weisst du a priori nur, dass alle einpunktige Mengen darin sind, sowie alle deren Komplemente aber dann wirds schwierig.
Ich kenne kein Verfahren allgemein die Mengen zu beschreiben die in solch einer Sigma-Algebra enthalten sind, ganz im Gegensatz zur Topologie, die von einem Mengensystem erzeugt wird.

08.12.2010, 13:19

NastyNat

Auf diesen Beitrag antworten »

Da habe ich wohl was falsch verstanden,
denn E ist Teilmenge der Potenzmenge von den reellen Zahlen.
Dann ist besteht sigma(E) aus der leeren Menge, aus der menge der reellen zahlen, aus allen Mengen aus E, aus dem Komplement jeder einzelnen Menge aus E, aus der Vereinigung der Mengen aus E und aus dem Komplement der Vereinigung der mengen aus E.

D.h.:
$\begin{eqnarray*} \sigma(E)= \left\{ \left\{ \right\}, \left\{x _{1} \right\} ,...,\left\{ x_{n} \right\},\mathbb R \setminus \left\{ x_{1} \right\} ,...,\mathbb R \setminus \left\{ x_{n} \right\}, \bigcup \left\{ x_{i} \right\} ,\mathbb R \setminus\bigcup \left\{ x_{i} \right\}\right\} \end{eqnarray*}$
für alle i=1,...,n bzw. für alle reellen zahlen mit Index i.

Stimmt das nun?
Ich zweifle an der Schreibweise der x_i, die sollen ja nicht endlich sein.

08.12.2010, 13:28

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Du weisst schon dass man die reellen Zahlen nicht abzählen kann? geschockt

Deswegen macht

Zitat:

für alle i=1,...,n bzw. für alle reellen zahlen mit Index i.

keinen Sinn.

Aber jede Menge die du mehr oder weniger angegeben hast liegt in deiner Sigma-Algebra - aber sie enthält noch viel mehr.

08.12.2010, 13:33

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Sigma-Algebra über Mengensystem

Zitat:

Original von NastyNat
Und zwar, sei z.B. $\begin{eqnarray*} \Omega := \mathbb R \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} E:= \left\{ \left\{ x\right\}:x\in \mathbb R \right\} \end{eqnarray*}$

Hier ist

$\begin{eqnarray*} \sigma(E) = \left\{ A\subseteq\mathbb{R} \bigm| A \;\textrm{oder}\; \mathbb{R}\setminus A \;\textrm{höchstens abzählbar} \right\} \end{eqnarray*}$ .

Wink

08.12.2010, 13:39

NastyNat

Auf diesen Beitrag antworten »

Müsste das nicht die Potenzmenge der reellen Zahlen sein?

08.12.2010, 13:40

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein - warum?

Dieses $\begin{eqnarray*} \sigma(E) \end{eqnarray*}$ ist echt kleiner als die Borel-Sigma-Algebra (d.h. also insbesondere in dieser enthalten), und damit erst recht echt kleiner als die Potenzmenge der reellen Zahlen.

08.12.2010, 13:50

NastyNat

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, klar, jetzt weißt ich was du meinst. Danke.
Nun muss ich mir nur überlegen, wie ich das formal beweisen kann.

08.12.2010, 13:53

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

Dazu musst du zeigen,

(1) dass dieses Mengensystem eine Sigma-Algebra ist,

(2) dass wirklich alle Elemente von $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ drin zu finden sind, und

(3) dass es keine kleinere Sigma-Algebra geben kann, die Bedingung (2) erfüllt.

08.12.2010, 14:51

NastyNat

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok,

doch wie sieht das für $\begin{eqnarray*} \Omega:=\mathbb Z \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} E:=\left\{ \left\{ -n,n\right\}: n\in \mathbb N _{0} \right\} \end{eqnarray*}$
aus?
Z und E sind dann beide abzählbar unendlich. Dann ist auch sigma(E) abzählbar unendlich und sigma(E) lässt sich leicht angeben.
Oder wie ist es für
$\begin{eqnarray*} \Omega:=\mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} E:= P(\mathbb Q) \end{eqnarray*}$
Ist dann $\begin{eqnarray*} \sigma(E) = \left\{ \mathbb R \right\} \cup P(\mathbb Q) \end{eqnarray*}$ ?

08.12.2010, 15:11

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von NastyNat
Dann ist auch sigma(E) abzählbar unendlich

Schon wieder eine unzulässige Folgerung: Bei der ersten Aufgabe oben ist $\begin{eqnarray*} \sigma(E) \end{eqnarray*}$ auch nicht abzählbar. unglücklich

Du solltest nicht Eigenschaften der Elemente von $\begin{eqnarray*} \sigma(E) \end{eqnarray*}$ mit Eigenschaften von $\begin{eqnarray*} \sigma(E) \end{eqnarray*}$ selbst verwechseln.

Tatsächlich ist es sogar so, dass Sigma-Algebren nur endlich (dann von der Mächtigkeit einer Zweierpotenz) oder aber überabzählbar unendlich sind. Die "Zwischenstufe" abzählbar unendlich ist bei Sigma-Algebra-Mächtigkeiten unmöglich.

08.12.2010, 16:00

NastyNat

Auf diesen Beitrag antworten »

das ist alles so schwer vorstellbar...
wie lässt sich dann $\begin{eqnarray*} \sigma(E)= \sigma(\left\{ \left\{ -n,n\right\} :n\in \mathbb N _{0} \right\}) \end{eqnarray*}$ darstellen?

08.12.2010, 16:23

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

Überleg dir mal: Jedes Element $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ des Erzeugendensystems hat die Eigenschaft einer "Nullsymmetrie" $\begin{eqnarray*} A=-A \end{eqnarray*}$ , d.h. mit $\begin{eqnarray*} x\in A \end{eqnarray*}$ gilt auch $\begin{eqnarray*} -x\in A \end{eqnarray*}$ .

Diese Eigenschaft bleibt auch bei den diversen Sigma-Algebra-Operationen wie Vereinigung oder Komplementbildung erhalten - also haben auch alle Elemente der erzeugten Sigma-Algebra diese Eigenschaft...

Generell gilt:

Schreib dir einfach bei jedem Erzeugendensystem auf, welche Mengen gemäß der Sigma-Algebra-Eigenschaften auf jeden Fall noch mit in der erzeugten Sigma-Algebra dabei sein müssen, das ist nicht immer so einfach (wie system-agent schon sagte), aber man kann es zumindest versuchen.

Idealerweise kommt man bei dieser Erweiterungsprodzedur auf ein Mengensystem, welches dann tatsächlich auch eine Sigma-Algebra ist. "Ordentlich" aufgeschrieben (d.h. logisch einwandfrei) ist man dann fertig. Wie wir alle (hoffentlich) wissen, kann man diesen "konstruktiven" Idealzustand nicht immer erreichen, z.B. nicht bei der Borel-Sigma-Algebra.

Neue Frage »

Antworten »

Sigma-Algebra über Mengensystem

Verwandte Themen