Konvergenzradius einer Reihe

08.12.2010, 13:09

Julia & Christina

Konvergenzradius einer Reihe

Meine Frage:
hallo

ich hab ein Problem bei einer bzw. 3 Aufgaben, die aber alle samt sehr ähnlich sind. zu berechnen is der konvergenzradius.

$\begin{eqnarray*} 1.\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{k!}{2^{k} } * x^{k} 2.\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(-1)^{k} }{k3^{k} } * x^{k} 3.\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{k+j^{2k+1}}{k^{3}+4 } z^{k} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
zu 1. hab ich über quotientenkirterium $\begin{eqnarray*} \frac{\frac{(k+1)!}{2^{k+1} } }{\frac{k!}{2^{k} } } \end{eqnarray*}$ durch ein bisschen kürzen und umstellen $\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty } \frac{k+1}{2} \end{eqnarray*}$ raus, also läuft das ja gegen unendlich, nur was sagt das aus ??? ich kenn das nur so das da eine zahl rauskommt, man davon den kehrwert nimmt und man dadurch den konvergenzradius hat . oder ist der radius einfach 1/unendlcih (=0??)

2. $\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty } \frac{-k}{3k+3} \end{eqnarray*}$ dann haben wir daruas $\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty } \frac{\frac{-k}{k} }{\frac{3k}{k}+\frac{3}{k} } \end{eqnarray*}$ da kommt dann ja raus -1/3 oder ?? also ist der konvergenzradius -3 oder ?? sorry ich hab ech kein plan -.-
3. leider haben wi zu der aufgabe nichtmal einen ansatz, wir haben das mal nach quotientenkriterium zu machen , aber wir haben probleme mit dem komplexen j ( wir studieren e technik) j=math. i

vielen dank schonmal im vorraus
ich hoffe ihr könnt mir helfen unglücklich

08.12.2010, 13:25

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Konvergenzradius einer Reihe

Zitat:

Original von Julia & Christina
oder ist der radius einfach 1/unendlcih (=0??)

Ja.

Zitat:

Original von Julia & Christina
also ist der konvergenzradius -3 oder ??

Nein. Man betrachtet im Grunde den Betrag des Quotienten.

Zitat:

Original von Julia & Christina
3. leider haben wi zu der aufgabe nichtmal einen ansatz, wir haben das mal nach quotientenkriterium zu machen , aber wir haben probleme mit dem komplexen j

Das geht im Grunde nach dem gleichen Strickmuster: bestimme von $\begin{eqnarray*} | \frac{a_n}{a_{n+1}} | \end{eqnarray*}$ den Grenzwert für n gegen unendlich.

08.12.2010, 13:26

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Konvergenzradius einer Reihe
Hello and Willkommen

am Matheboard,

Das Kriterium besagt:

Sind die Koeffizenten $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ der Potenzreihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits a_k x^k \end{eqnarray*}$ von 0 verschieden und existiert der Grenzwert

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty} | \frac{a_k}{a_{k+1}}| \end{eqnarray*}$ so ist dieser der Konvergenzradius.

Also ist bei 1.) r=0 schon mal richtig.

edit:
@klarsoweit: hab deinen Beitrag in der Vorschau nicht gesehen.

08.12.2010, 13:31

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Konvergenzradius einer Reihe

Zitat:

Original von lgrizu
Also ist bei 1.) r=1 schon mal richtig.

Also ich würde sagen, daß der Radius Null richtig ist.

08.12.2010, 13:45

Julia & Christina

Auf diesen Beitrag antworten »

hi danke erstmal für die ganzen antworten smile

aber warum benutzt ihr hier : $\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty} | \frac{a_k}{a_{k+1}}| \end{eqnarray*}$ wir hatten in der vorlesung die gleich nur nenner zähler getausch oder ist das egal ??

08.12.2010, 13:50

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das ist nicht egal.

Bei einer Potenzreihe ist eben $\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty} | \frac{a_k}{a_{k+1}}| \end{eqnarray*}$ der Konvergenzradius. Sollte man versehentlich $\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty} | \frac{a_{k+1}}{a_k}| \end{eqnarray*}$ berechnet haben, kann man natürlich vom Ergebnis den Kehrwert nehmen. Augenzwinkern

08.12.2010, 13:53

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Konvergenzradius einer Reihe

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von lgrizu
Also ist bei 1.) r=1 schon mal richtig.

Also ich würde sagen, daß der Radius Null richtig ist.

ja, natürlich, Tippfehler Augenzwinkern

08.12.2010, 13:54

Julia & Christina

Auf diesen Beitrag antworten »

klar das ist logisch Big Laugh

, ich hab mich schon gewundert warum wir immer am ende den kehrwert gemacht haben ^^

aber nochmal zu aufgabe 3, die muss irgendwie anderes gehen weil sich die j^(2k+1) und so nciht so ohne weiteres rauskürzen , ohh man ich hab echt keine ahnung

09.12.2010, 21:54

Julia & Christina

Auf diesen Beitrag antworten »

hi , sorry das ich nochmal nerve aber wir kommen einfach nicht weiter hier was wir bisher haben

quotientenkriterium : $\begin{eqnarray*} \frac{(k+1)+j^{2(k+1)+1} }{(k+1)^{3}+4 } * \frac{k^{3} +4 }{k^{3} + j^{2k+1} } \end{eqnarray*}$

und durch vereinfachung: $\begin{eqnarray*} \frac{(k+1)+j^{2k}*(-j) }{k^{3}+3k^{2}+3k+5 } * \frac{k^{3}+4}{k^{3}+j^{2k}*j } \end{eqnarray*}$ aber wie geht es dann weiter? kann cih einfach durch k^(3) teilen wie ich es in den anderen aufgabe gemacht hab, aber was kommt denn bei (j^(...))/k^(3) bei limes k->unendlich raus?? eigentlich muss da doch null rauskommen weil j^irgendwas immer 1oder -1 ist oder und k gegen unendlcih so muss da doch 0 rauskommen oder ? -> aber dann kommt man am ende auf 0/1*1/1 =0 dann den kehrwert und es kommt für den radius 1/0 raus was nicht definiert ist unglücklich

wir sind verwirrt ....

lg

Neue Frage »

Antworten »

Konvergenzradius einer Reihe

Verwandte Themen