Grenzwerte

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08.12.2010, 13:42	Matheblüte	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwerte Es sei f:reelle Funktion-->reelle Funktion eine stetige Funktion Für welche Aussage gibt es ein Gegenbeispiel? a) Es gilt lim x-->unendlich f(x)=lim x --> unendlich f(-x) b) Es gilt lim x-->unendlich f(x)=lim x --> unendlich -f(x) c) Es gilt lim x-->0 f(x)=lim x -->0 f(x²) d)Für jedes x element Reelle Zahlen gilt lim n -->unendlich f^n (x) = lim n-->unendlich f(x)^n Falls alle Grenzwerte existieren. Meine Ideen: Für a gibt es kein Gegenbeispiel. Für b gibt es auch kein Gegenbeispiel. Für c keine Ahnung ob es da ein Gegenbeispiel gibt Für d gibt es ein Gegenbeispiel
08.12.2010, 14:17	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn es keine Gegenbeispiele gibt, müsstest Du die Aussage beweisen können und sie müsste vor allem auch für jede beliebige stetige Funktion gelten. Nimm Dir einfach mal ein paar einfache Funktionen und überprüfe die Aussage dann neu. Solltest Du zu demselben Ergebnis kommen, dann versuche dein Vorgehen zu verallgemeinern. Solltest Du ein Gegenbeispiel finden, bist Du mit dem Aufgabenteil fertig.
08.12.2010, 14:34	Matheblüte	Auf diesen Beitrag antworten »
also bei der a) Wenn ich jetzt lim n-->unendlich x ten Wurzel von x nehme Dann ist der Grenzwert bei f(x) eine positive Zahl und bei f(-x) eine negative daraus müsste ich ja eigentlich folgern dass diese Aussage falsch ist, da ich ein Gegenbeispiel gefunden habe. bei der b) wenn ich auch hier die x te Wurzel von x nehme dann ist ja der Grenzwert von f(x) positiv und der von -(f(x)) ist als ergebnis etwas negatives. daraus folgt auch diese Aussage ist falsch bei der c) Diese ist richtig bei der d) Gegenbeispiel 1/x -->Grenzwert f(x)^n=0 -->Grenzwert f^n(x)=x Ist das jetzt richtiger? Davor hatte ich eben nur so ein Gefühl und jetzt nach längerem ausprobieren und nachdenken bin ich auf dieses ergebnis gekommen.
08.12.2010, 14:43	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Sagen wir mal so: Du bist jetzt auf einem besseren Weg, aber leider noch nicht am Ziel. Wenn Du $\begin{eqnarray} f(x)=\sqrt[x]{x} \end{eqnarray}$ definierst, hast Du das Problem, dass f(-x) für positive x-Werte gar nicht definiert ist. Denk an einfachere Beispiele, man kommt völlig ohne Wurtzelterme aus.
08.12.2010, 14:56	Matheblüte	Auf diesen Beitrag antworten »
ist das beispiel 1/x gut? a) 1/x--> 0 von oben -1/x --> 0 von unten --> die grenzwerte sind nicht gleich b) da darf ich doch das Wurzel gegenbeispiel nehmen oder? c) ist für mich immernoch richtig d) immernoch falsch
08.12.2010, 15:05	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
a) Die Grenzwerte sind aber doch gleich (0), auch wenn sie aus unterschiedlichen Richtungen angepeilt werden. b) Wenn Du noch die Grenzwerte dazu angibst, dann kannst Du das Beispiel nehmen. (Aber auch hier gibt es wesentlich einfachere ) c) Dann solltest Du versuchen, dass zu beweisen. d) Hier wäre noch zu klären, wass $\begin{eqnarray} f^n(x) \end{eqnarray}$ sein soll. Die Funktion n-mal mit sich verkettet, oder die Funktion einfach nur potenziert? $\begin{eqnarray} f(x)=x \Rightarrow f^n(x)=x^n \hspace{5mm}oder\hspace{5mm} f^n(x)=f(f(f(...(f(x))))=x \end{eqnarray}$
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08.12.2010, 15:10	Matheblüte	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso dann ist a) also richtig es kommt nur drauf an dass der Grenzwert genau gleich ich. Achso b) falsch Gegenbeispiel: Grenzwert x te Wurzel aus x= 1 Grenzwert - (x te Wurzel aus x) = -1 d) f^n(x)=f(f(f(...(f(x))))=x hätte ich gedacht c)??
08.12.2010, 15:18	Matheblüte	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei c) stimmt es ja für 1/(x+1) bzw 1/(x+2) ... da ja jedes x im Nenner O ist dann bleibt ja nur noch die Zahl unten stehen. und daher haben f(x) und f(x²) denselben Grenzwert für die Wurzelfunktion stimmt es ja auch
08.12.2010, 15:19	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
a) Nur weil es für ein Beispiel stimmt, ist noch nicht bewiesen ob/dass es für alle gilt. Hast Du denn schon mehrere Beispiele gefunden, für die es zutrifft? b) erledigt c) Hier wäre es vielleicht angebracht, sich Gedanken zu machen, wofür die lim-Bezeichnung steht (Folgentechnisch). d) Ich würde eher auf meine erste Deutung tippen, da auf der rechten Seite der Gleichung ja nur ein Wert potenziert wird. Da würde es wenig Sinn machen auf der linken Seite die Funktion zu verketten.
08.12.2010, 15:27	Matheblüte	Auf diesen Beitrag antworten »
d)Gegenbeispiel f(x)= 1/x lim x->unendlich f^n(x) = x^n --> Grenzwert geht gegen unendlich lim x-> unendlich f(x)^n = 1/n1/n....1/n= 1/(x^n) --> Grenzwert geht gegen 0 a) Hier ist es doch immer so, dass die eine Funktion sich von unten an den Grenzwert annähert und die andere Funktion sich von oben annähert, aber der Grenzwert doch bei beiden dasselbe ist. das hätte ich jetzt gedacht.
08.12.2010, 15:38	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
a) Schau Dir noch mal genau an, welche Grenzwerte hier auf beiden Seiten gebildet werden. Du beschreibst einen ganz anderen Sachverhalt. d) Hier kann ich deine Rechnung nicht nachvollziehen. $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{1}{x} \Rightarrow f^n(x)=(\frac{1}{x})^n = \frac{1}{x^n} \end{eqnarray}$ und somit $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty} f^n(x) = 0 \quad sowie \quad (\lim_{x \to \infty} f(x))^n = 0^n = 0 \end{eqnarray}$
08.12.2010, 15:45	Matheblüte	Auf diesen Beitrag antworten »
zur d) Oh f^n(x) = 1/x^n und das geht auch gegen 0... sorry
08.12.2010, 15:51	Matheblüte	Auf diesen Beitrag antworten »
zur a) die Funktion -f(x) ist doch einfach die gespiegelte f(x) Funktion an der x Achse und daher müssen sie sich doch am gleichen Grenzwert annähern? Oder bin ich komplatt auf dem Holzweg?
08.12.2010, 15:56	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist richtig, aber woher nimmst Du die Erkenntnis, dass es derselbe Grenzwert ist, wenn es doch eine Spiegelung an der x-Achse ist? Nachtrag: Es geht bei a) um f(x) und f(-x) und nicht f(x) und -f(x), der Sachverhalt ist aber nicht grundlegend anders.
08.12.2010, 15:59	Matheblüte	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja wenn man das so aufzeichnet, dann muss sich ja der eine Graph mal ein einen Grenzwert annähern und bei mir hat sich das immer an den Null angenähert... Aber jetzt versteh ich der Grenzwert könnte ja auch 2 oder irgendwas anderes sein... Dann wäre der andere Grenzwert ja -2 --> 2 ist ungleich -2 --> Gegenbeispiel finden
08.12.2010, 16:01	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Korrekt
08.12.2010, 16:15	Matheblüte	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich finde keine solche funktion weil 1/5x wäre ja linear und hat keinen Grenzwert ja dann bei 6x^2/5x^2 geht es auch nicht ich verzweifle
08.12.2010, 16:30	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Auf welchen Aufgabenteil beziehst Du Dich jetzt und wo steht in der Aufgabe etwas von einem endlichen Grenzwert? EDIT: Ok, da steht , dass die Grenzwerte existieren sollen. Das würde unendlich ausschließen. Hatte ich bislang überlesen.
08.12.2010, 16:39	Matheblüte	Auf diesen Beitrag antworten »
sorry aber ich bin jetzt vollkommen verwirrt, welche von den 4 aussagen ist denn jetzt eigentlich falsch?
08.12.2010, 16:52	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Da in der Aufgabe nur gefragt ist, ob es gegenbeispiele gibt, weiss ich nicht, ob es gegen die Boardregeln verstoßen würde Dir die Antworten zu sagen, aber ich fasse noch einmal zusammen, was Du bisher rausgefunden hast: a) Es gilt lim x-->unendlich f(x)=lim x --> unendlich f(-x) Die Graphen f(x) und g(x)=f(-x) sind Spiegelungen voneinander -> Was bedeutet dies für die Grenzwerte? b) Es gilt lim x-->unendlich f(x)=lim x --> unendlich -f(x) Gegenbeispiel gefunden c) Es gilt lim x-->0 f(x)=lim x -->0 f(x²) Du vermutest, dass es stimmt -> Versuch dich an einem Beweis (beachte auch meinen obigen Kommentar zu dieser Teilaufgabe) d)Für jedes x element Reelle Zahlen gilt lim n -->unendlich f^n (x) = lim n-->unendlich f(x)^n Hier hast Du noch keine klare Idee -> Hast Du mehrere Beispiele ausprobiert? Ergibt sich dabei keine Tendez, ob die Aussage stimmen könnte oder nicht?
08.12.2010, 18:12	Matheblüte	Auf diesen Beitrag antworten »
ok ganz vielen dank. a)naja also für a gibt es ja dann sicher ein Gegenbeispiel das ist ja dann klar nur ich muss eines finden.... d) bei d ist nach ein paar Beispielen immer wieder derselbe Grenzwert rausgekommen. Deshalb vermute ich auch hier, dass diese Aussage richtig ist
09.12.2010, 19:56	Matheblüte	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei d) Wir haben gerade erfahren,dass f^n(x) = (f verknüpft f verknüpft f ...)(x) Tut das etwas zur Aussage. Gibt es dafür ein Gegenbeispiel

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