Stetigkeit

08.12.2010, 14:39

Gosslot

Stetigkeit

Meine Frage:
Ich habe hier eine Frage zu folgender Aufgabe:

Bestimmen Sie alle $\begin{eqnarray*} x_{0} \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ , in denen folgende Funktion stetig ist:

$\begin{eqnarray*} f : \mathbb R \Rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x) = x \end{eqnarray*}$ wenn $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x) = 1 - x \end{eqnarray*}$ wenn NICHT $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Nun habe ich gelernt, dass f stetig, wenn

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_{0}} f(x) = f(x_{0}) \end{eqnarray*}$

Demnach gilt ja für

$\begin{eqnarray*} x \in \mathbb Q: f(x) = x \lim_{x \to x_{0}} f(x) = \lim_{x \to x_{0}} x = x_{0} = f(x_{0} \end{eqnarray*}$

Und für den anderen Fall:
$\begin{eqnarray*} f(x) = 1 - x \lim_{x \to x_{0}} f(x) = \lim_{x \to x_{0}} 1 - x = 1 - x_{0} = f(x_{0} \end{eqnarray*}$

Demnach wäre f für komplett R stetig. Habe ich das richtig verstanden???

08.12.2010, 14:47

Mazze

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Zunächst einmal heißt eine Funktion stetig wenn für alle konvergenten Folgen

$\begin{eqnarray*} x_n \to x \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} f(x_n) \to f(x) \end{eqnarray*}$

gilt. Deine Umformungen ergeben keinen Sinn. Wieso sollte Beispielswiese die Gleichung

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0}f(x) = \lim_{x \to x_0} x \end{eqnarray*}$

gelten? Diese Gleichung ist falsch. Tatsächlich gibt es nur sehr wenige Punkte, an denen diese Funktion stetig ist.

Beispielsweise lässt sich jede irrationale Zahl als Grenzwert eine rationalen Folge darstellen. Daher haben wir also für $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ eine Folge

$\begin{eqnarray*} x_n \in \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}x_n = x \end{eqnarray*}$ . Wie sieht jetzt

$\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ aus und wie sieht $\begin{eqnarray*} f(x_n) \end{eqnarray*}$ aus? (Bedenke dabei , dass x irrational und x_n rational sind)

08.12.2010, 15:48

Gosslot

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Zitat:

Original von Mazze Wieso sollte Beispielswiese die Gleichung

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0}f(x) = \lim_{x \to x_0} x \end{eqnarray*}$

gelten?

Naja, da für $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ gilt:

f(x) = x

das war zumindest mein Gedanke.

Ansonsten habe ich keine Ahnung. Diese Definitionen von Stetigkeit sind mir halt so komplett unbekannt und unverständlich.

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