Anwendung von L'Hospital - Einfache Beispiele

08.12.2010, 16:50

metriod

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Anwendung von L'Hospital - Einfache Beispiele

Hallo,

ich habe begonne mich ein wenig mit der Anweundung von L'Hospital zur Berechnung von Grenzwerten zu beschäftigen.

Folgende Beipspiele habe ich bereits berechnet und würde mich über eine kurze Bestätigung über Richtigkeit freuen:

i)
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to o} \frac{cos(x)-1}{tan(x)} \end{eqnarray*}$
Beim Grenzwert kommt $\begin{eqnarray*} \frac{0}{0} \end{eqnarray*}$ --> Anwendung von L'Hospital
Der Grenzwert der Ableitung ist $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to o} -sin(x)*cos^2(x) = 0 \end{eqnarray*}$

ii)
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \frac{ln(x)}{x} \end{eqnarray*}$
Grenzwert ist $\begin{eqnarray*} \frac{\infty}{\infty} \end{eqnarray*}$ --> Anwendung von L'Hospital
Grenzewrt der 1. Ableitung: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to o} \frac{\frac{1}{x} }{1} = \frac{1}{\infty} = 0 \end{eqnarray*}$

iii)
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to o} \frac{e^x}{x^k} \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb N \end{eqnarray*}$
Grenzwert ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\infty} = 0 \end{eqnarray*}$

iv)
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x^k} \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb N \end{eqnarray*}$
Grenzwert: $\begin{eqnarray*} \frac{\infty}{\infty} \end{eqnarray*}$ --> Anwendung von L'Hospital
Grenzwert der 1. Ableitung $\begin{eqnarray*} \frac{\infty}{\infty} \end{eqnarray*}$ --> Wieder L'Hospital
Grenzwert der 2. Ableitung: $\begin{eqnarray*} \frac{\infty}{\infty} \end{eqnarray*}$ . Das wird sich auch bei weiterer Anwendung von L'Hospital nicht ändern, daher hat diese Funktion keinen Grenzwert?
Ist diese Aussage mit dieser Begründung richtig?

So und nun zum Beispiel, bei welchem ich ärgerlicherweise nicht weiterkomme:
Kann man bei $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{x^2*cos(\frac{1}{x})}{sin(x)} \end{eqnarray*}$ die Regel von L'Hospital anwenden? Wenn nein, begründen Sie warum nicht und versuchen Sie den Limes zu berechnen, indem Sie den Ausdruck zu $\begin{eqnarray*} \frac{x}{sin(x)}*(x*cos(\frac{1}{x}) ) \end{eqnarray*}$ umformen.

Zur ersten Frage:
Ich denke, L'Hospital kann nicht angewandt werden, weil der Grenzwert der Funktion 1/0 = undefiniert ist.

Ist diese Begründung richtig?

Zur zweiten Frage melde ich mich in Kürze

08.12.2010, 17:05

metriod

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So, betreffend die zweite Frage:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{x^2*cos(\frac{1}{x})}{sin(x)} \end{eqnarray*}$

Gemäß Anleitung umgeformt auf
$\begin{eqnarray*} \frac{x}{sin(x)}*(x*cos(\frac{1}{x}) ) \end{eqnarray*}$

Wie ich nun weiter tun soll ist mir unklar.
Ich habe die einzelnen Grenzwerte berechnet (weil ich dachte, ich könnte dann die Rechenregeln für Grenzwerte anwenden), klappt aber nicht da der Grenzwert von cos(1/x) undefiniert ist (oder doch +-1?!) und daher die Multiplikation der Grenzwerte auch zu "undefiniert" führt?...

Danke im Voraus!

08.12.2010, 17:44

mYthos

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Wohin geht der Bruch (im ersten Faktor; da haben wir ja immer noch "0/0")? Beim zweiten Faktor bedenke, welche Werte der COS auch bei unendlichem Argument nur annehmen kann ...

mY+

08.12.2010, 17:48

metriod

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Hallo mYthos, danke für die Rückmeldung.

Bei Einzelbetrachtung der Faktoren, geht der erste Faktor gegen 0/0, der zweite für den Grenzwert von Cosinus +-1 auch gegen 0.

Also 0/0 --> Ich kann L'Hospital wenden.

Ich probiers mal Augenzwinkern

Augenzwinkern

08.12.2010, 17:50

metriod

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Kann ich nun die Ableitung mittels Quotientenregel bei der ursprünglichen Form anwenden oder muss ich die Ableitung bei der Umformung anwenden? Sollte ja eigentlich keinen Unterschied machen, oder?

08.12.2010, 17:59

mYthos

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Und ob das einen Unterschied macht! L'Hospital sagt ausdrücklich, dass bei indefiniten Brüchen Zähler und Nenner getrennt abzuleiten sind, also dass auf den Bruch selbst NICHT die Quotientenregel angewandt werden darf.

Bei x und sin x ist das daher ganz einfach, das wird zu 1 und cos x ...

mY+

Hinweis: Falls im Zähler oder Nenner wiederum ein Quotient oder Produkt von Funktionen stehen sollte, dann ist es natürlich klar, dass die entsprechenden Regeln auf diese Teilausdrücke anzuwenden sind.

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08.12.2010, 18:38

metriod

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Zitat:

Original von mYthos
Und ob das einen Unterschied macht! L'Hospital sagt ausdrücklich, dass bei indefiniten Brüchen Zähler und Nenner getrennt abzuleiten sind, also dass auf den Bruch selbst NICHT die Quotientenregel angewandt werden darf.

Danke, das ist sehr gut zu wissen. Ist mir beim "Einlesen" nicht untergekommen.

Zähler ableiten:
Produktregel
$\begin{eqnarray*} 2x*cos (\frac{1}{x})+x^2*(-sin(\frac{1}{x})) \end{eqnarray*}$

Kettenregel
$\begin{eqnarray*} [cos (\frac{1}{x})]' = (\frac{sin (\frac{1}{x})}{x^2}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -[sin (\frac{1}{x})]' = (\frac{-cos (\frac{1}{x})}{x^2}) \end{eqnarray*}$

Zähler abgeleitet:
$\begin{eqnarray*} 2x*(\frac{sin (\frac{1}{x})}{x^2})+x^2*(\frac{-cos (\frac{1}{x})}{x^2}) \end{eqnarray*}$

Nenner ableiten:
$\begin{eqnarray*} [sin(x)]'=cos(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{2x*(\frac{sin (\frac{1}{x})}{x^2})+x^2*(\frac{-cos (\frac{1}{x})}{x^2})}{cos(x)} \end{eqnarray*}$
Stimmt das?

Wenn ich nun den $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to o} \end{eqnarray*}$ berechne kommt doch wieder etwas undefiniertes raus?

08.12.2010, 21:49

mYthos

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Ich denke, es geht doch um diese Aufgabe: (?)

Zitat:

Original von metriod
...
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{x^2*cos(\frac{1}{x})}{sin(x)} \end{eqnarray*}$

Gemäß Anleitung umgeformt auf
$\begin{eqnarray*} \frac{x}{sin(x)}*(x*cos(\frac{1}{x}) ) \end{eqnarray*}$
...

Der Grenzwert des ersten Bruches ist wie beschrieben leicht zu berechnen.
Der Grenzwert des zweiten Faktors ist jedoch durch die ebenfalls schon vorgestellte Überlegung zu bestimmen (und nicht mittels L'Hospital). L'Hospital kann nur unter bestimmten Voraussetzungen angewandt werden! Welche das sind, solltest du nochmals nachlesen.

mY+

08.12.2010, 22:17

metriod

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$\begin{eqnarray*} \frac{x}{sin(x)}*(x*cos(\frac{1}{x}) ) \end{eqnarray*}$

Der Grenzwert des ersten Faktors ist $\begin{eqnarray*} \frac{0}{0} \end{eqnarray*}$
der des zweiten Faktors: 0

Meine Überlegung war $\begin{eqnarray*} \frac{0}{0}*0 = \frac{0}{0} \end{eqnarray*}$ Daher auch die Anwendung von L'Hospital?

08.12.2010, 22:38

mYthos

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Nur für den ersten Faktor soll L'Hospital angewandt werden, denn dieser ist ein indefiniter Bruch (0/0 ist unbestimmt, der Grenzwert existiert jedoch), der zweite Faktor hat den Grenzwert 0, das ist richtig.
Nun kann in der Folge auch der Grenzwert der ganzen Funktion angegeben werden.

mY+

08.12.2010, 22:44

metriod

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Die Multiplikation der Grenzwerte wäre nicht zulässig?

Denn die Rechenregeln für Grenzwerte besagen ja:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \left(a_n\cdot b_n\right)= a\cdot b \end{eqnarray*}$
Falls ich das aus Wikipedia richtig verstanden habe.

In diesem Fall kommt halt dann wieder $\begin{eqnarray*} \frac{0}{0} \end{eqnarray*}$ raus ...

08.12.2010, 23:04

mYthos

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Die Multiplikation der Grenzwerte ist natürlich anwendbar.
Du hast aber bis jetzt noch immer nicht den Grenzwert von x / sin(x) angegeben.

m+

08.12.2010, 23:16

metriod

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Limes von $\begin{eqnarray*} \frac{x}{sin(x)} \end{eqnarray*}$ müsste 1 sein, falls mir kein Fehler unterlaufen ist.

L'Hospital angewandt: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{cos(x)} \end{eqnarray*}$
Cos mit 1 abgeschätzt.

08.12.2010, 23:28

mYthos

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Eben. Also 1 beim ersten Faktor, 0 beim zweiten, was macht das für den Gesamtgrenzwert?

mY+

08.12.2010, 23:36

metriod

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Der resultiere Grenzwert ist dann natürlich auch 0.
(was mir auch wolframalpha ausspuckt)

Kann ich dadurch schließen, dass wenn für einen oder mehrere Faktor aus einer bestimmten Menge die L'Hospitalsche Regel angewandt werden kann, ich zuerst diese anwenden muss, bevor ich die Grenzwerte multiplizieren kann?

D.h. sobald für einen einzelnen Faktor die L'Hospitalsche Regel angewandt werden kann, darf ich mehr die einzelnen Grenzwerte multiplizieren, sondern MUSS zuerst die Regeln für diesen einen Faktor anwenden?

08.12.2010, 23:43

mYthos

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Die Grenzwerte aller Faktoren, die nicht bestimmt sind, müssen zuerst durch L'Hospital ermittelt sein, bevor diese miteinander multipliziert werden können.

mY+

08.12.2010, 23:44

metriod

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Super, vielen herzlichen Dank auch dir für die hervorrangende Unterstützung, selbst zu später Stund!

08.12.2010, 23:51

mYthos

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Gern geschehen.

mY+

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