Geometrische Folge: Grenzwert bei q<1

08.12.2010, 16:53	nba2002	Auf diesen Beitrag antworten »
Geometrische Folge: Grenzwert bei q<1 Ich soll beweisen, dass die Geometische Reihe gegen Null konvergiert wen \|q\|<1 ist. Dazu soll ich die Bernoulli Ungleichung benutzen. Bernoulli : (1+x)^n > 1+ n*x Meine Idee. Ich setze für x die Geometrische Reihe ein und forme um , jedoch komm ich zu keinem Ergebniss.
08.12.2010, 17:01	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die unendliche geometrische Reihe mit q < 1 konvergiert zwar, aber (bei a1 ungleich Null) NICHT gegen Null (Reihe --> Reihensumme). mY+
08.12.2010, 17:04	nba2002	Auf diesen Beitrag antworten »
Hab mich verschrieben meine die Folge nicht die Reihe. tut mir leid.
08.12.2010, 17:25	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun, dann werd' ich wenigstens die Überschrift berichtigen. Setze \|q\| < 1 als $\begin{eqnarray} \frac 1 v \end{eqnarray}$ mit v > 1 an. Somit ist v = 1 + x Mit dem Nenner $\begin{eqnarray} (1+x)^n \end{eqnarray}$ kannst du nun den Bruch mit Bernoulli abschätzen, wenn n gegen unendlich geht. mY+
08.12.2010, 18:10	nba2002	Auf diesen Beitrag antworten »
also hab ich stehen: $\begin{eqnarray} \left( \frac{1-\left( \frac{1}{x+1} \right) ^{n+1}}{1-\left( \frac{1}{x+1} \right)}\right) ^n > 1+n \left( \frac{1-\left( \frac{1}{x+1} \right) ^{n+1}}{1-\left( \frac{1}{x+1} \right)}\right) \end{eqnarray*}$
08.12.2010, 23:36	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich denk', es ist einfacher $\begin{eqnarray} 0 < \frac 1 {(1+x)^n} < \frac 1 {1+nx} \end{eqnarray}$ Bei den Kehrwerten muss bei Bernoulli das Relationszeichen umgekehrt werden. Und nun rechts den Grenzübergang, links steht 0, die Mitte abschätzen (die ist "eingezwickt") mY+
Anzeige

09.12.2010, 00:44	nba2002	Auf diesen Beitrag antworten »
wofür steht den das x dann?
09.12.2010, 00:59	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
x ist eine positive Zahl und bezeichnet genau den Wert, um welchen v größer ist als 1. mY+
09.12.2010, 01:08	nba2002	Auf diesen Beitrag antworten »
ist dann somit der beweis erbracht? man sieht ja das 1/(x+1)^n eine Nullfolge ist wen n gegen unendlich strebt.
09.12.2010, 01:24	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst das mit Bernoulli zeigen. Es ist damit evident, dass $\begin{eqnarray} 1 + nx \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n \to \infty \end{eqnarray}$ auch gegen Unendlich geht. Somit geht der Kehrwert gegen Null. Und Null ist es dann auch, wohin dann $\begin{eqnarray} q^n \end{eqnarray}$ geht, was zu beweisen war. mY+
09.12.2010, 12:30	nba2002	Auf diesen Beitrag antworten »
erstmal danke für die Hilfe. Hab das nun versucht argumentativ zu beweisen mal schauen ob es richtig ist.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »