Beweis Linearform

08.12.2010, 17:49

G0rd0nGeKK0

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Beweis Linearform

Für $\begin{eqnarray*} a\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ betrachten wir die Abbildung

$\begin{eqnarray*} \delta_{a} :\mathbb R^{\mathbb R } \rightarrow \mathbb R , f\mapsto \delta_{a} (f):= f(a) \end{eqnarray*}$

Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} \delta_{a} \end{eqnarray*}$ eine Linearform ist und bestimmen Sie ihren Kern.

Also ich hatte erstmal die Idee, die Definition einer Linearform aufzuschreiben. Das ist doch eigentlich dieselbe Definition, wie die der linearen Abbildung richtig?

$\begin{eqnarray*} \forall x,y\in V \wedge \forall \alpha \in K : \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x+y) = f(x) + f(y) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(\alpha x) = \alpha f(x) \end{eqnarray*}$

Also die Definition ist mir klar, und das rechnen sollte kein Problem darstellen, nur ich verstehe meine Abbildung nicht so ganz. Danke für eure Tipps.

08.12.2010, 17:57

Leopold

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Du sagst es. Eine Linearform ist eine lineare Abbildung vom Vektorraum in den Skalarkörper. Die Bildmenge ist hier offensichtlich. Also geht es nur noch darum, die Linearität nachzuweisen.

Wie die Abbildung $\begin{eqnarray*} \delta_a \end{eqnarray*}$ funktioniert, zeigt am besten ein Beispiel. Nehmen wir die Funktionen $\begin{eqnarray*} f,g \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} f(x) = 2 \cos x \, , \ \ g(x) = \operatorname{e}^x \, ; \ \ x \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

Jetzt berechne $\begin{eqnarray*} \delta_0(f) , \delta_0(g) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \delta_0(f+g) \end{eqnarray*}$ . Die Argumente der Abbildung $\begin{eqnarray*} \delta_0 \end{eqnarray*}$ sind also reelle Funktionen.

Und? Gilt $\begin{eqnarray*} \delta_0(f+g) = \delta_0(f) + \delta_0(g) \end{eqnarray*}$ ?

08.12.2010, 18:02

G0rd0nGeKK0

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Ich verstehe dieses $\begin{eqnarray*} \delta_{0} (f) \end{eqnarray*}$ nicht so ganz. Was bedeutet denn die 0 bzw, diese ganze Konstrukt?

08.12.2010, 18:06

Leopold

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$\begin{eqnarray*} \delta_0(f) \end{eqnarray*}$ ist ja in der Aufgabe definiert. Da gibt es nichts zu überlegen. Einfach nur tun!

08.12.2010, 18:09

G0rd0nGeKK0

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$\begin{eqnarray*} \delta_{0} (f) = 2 \cdot cos(a) \end{eqnarray*}$

Hmm ob das so stimmt?

08.12.2010, 18:11

Leopold

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Nun ja, $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ habe ich hier vorgegeben. Ich betrachte ja $\begin{eqnarray*} \delta_0 \end{eqnarray*}$ .

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08.12.2010, 18:12

G0rd0nGeKK0

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Also $\begin{eqnarray*} \delta_{0} (f) = 2 \cdot cos(0) \end{eqnarray*}$

08.12.2010, 18:13

Leopold

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Und das ist natürlich 2.

08.12.2010, 18:16

G0rd0nGeKK0

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ok und $\begin{eqnarray*} \delta_{0} (f)+ \delta_{0} (g) = 2 \cdot cos(0)+ e^{0} = 3 \end{eqnarray*}$

Und was sagst uns das jetzt???

08.12.2010, 18:22

Leopold

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Noch nicht viel. Aber du hast ja auch $\begin{eqnarray*} \delta_0(f+g) \end{eqnarray*}$ gar nicht berechnet.

08.12.2010, 18:25

G0rd0nGeKK0

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Da kommt höchstwahrscheinlich das gleiche raus, denn

$\begin{eqnarray*} \delta_{0} (f+g) = \delta_{0} (2\cdot cos(0)+e^{0} ) = 3 \end{eqnarray*}$

08.12.2010, 18:37

Leopold

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Das Argument von $\begin{eqnarray*} \delta_0 \end{eqnarray*}$ an der zweiten Stelle stimmt nicht. Denn $\begin{eqnarray*} \delta_0 \end{eqnarray*}$ nimmt Funktionen entgegen, keine Zahlen.

Die Aufgabe ist interessant. Nicht so sehr, weil sie etwas Aufregendes macht. Sondern vielmehr, weil sie zeigt, wie man die Perspektive wechseln kann. Während du sonst gewohnt bist, Funktionen als Handelnde zu betrachten (man setzt zum Beispiel in die Funktion $\begin{eqnarray*} h(x) = x^2 \end{eqnarray*}$ verschiedene Zahlen für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ein), sind hier die Funktionen die Leidtragenden, denen also etwas geschieht. Und was geschieht ihnen? In alle wird dasselbe $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ eingesetzt. Ob es die Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ oder die Funktion $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ oder die Funktion $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ ist, in alle wird in meinem Beispiel $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$ eingesetzt. Und diesen Befehl "setze in mich 0 ein" macht die Abbildung $\begin{eqnarray*} \delta_0 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \delta_0(f) = \text{"Setze in mich 0 ein", sagt f} = f(0) = 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \delta_0(g) = \text{"Setze in mich 0 ein", sagt g} = g(0) = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \delta_0(h) = \text{"Setze in mich 0 ein", sagt h} = h(0) = 0 \end{eqnarray*}$

Jeder Funktion, das sind die Objekte!, wird also eine Zahl zugeordnet, der Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ die Zahl $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ , der Funktion $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ die Zahl $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ und der Funktion $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ die Zahl $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ .

Übrigens: Das Integrieren über einem festen Intervall ist auch so ein Prozeß, der einer Funktion eine Zahl zuordnet (anschaulich: Flächenbilanz unter dem Graphen). Nur ist der in dieser Aufgabe behandelte Prozeß (das Einsetzen von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ) natürlich viel primitiver als der Integrationsprozeß.

08.12.2010, 18:42

G0rd0nGeKK0

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Danke für den umfangreichen Beitrag, jezz versteh ich schon mehr was hier überhaupt gespielt wird. Aber reicht ein Beispiel aus , um zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \delta_{a} \end{eqnarray*}$ eine Linearform ist??? Ich glaube nicht oder? Was ist denn nun $\begin{eqnarray*} \delta_{a} (f+g) \end{eqnarray*}$ ?

08.12.2010, 18:52

Leopold

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Ein Beispiel reicht natürlich nicht. Es ging mir nur darum, daß du erst einmal begreifst, was $\begin{eqnarray*} \delta_a \end{eqnarray*}$ überhaupt macht.

Jetzt fehlt in unserem Beispiel noch $\begin{eqnarray*} \delta_0(f+g) \end{eqnarray*}$ . Denn das sollten wir noch zu Ende bringen, bevor wir an den allgemeinen Fall gehen. Zunächst einmal das $\begin{eqnarray*} + \end{eqnarray*}$ . Es ist das Plus zwischen Funktionen. Wie ist nun die Funktion $\begin{eqnarray*} s = f + g \end{eqnarray*}$ definiert? Eine Funktion ist bekannt, sobald man ihren Wert auf allen Eingaben kennt. Per definitionem gilt:

$\begin{eqnarray*} s(x) = \left( f + g \right)(x) = f(x) + g(x) \end{eqnarray*}$

Man nennt das die "Definition durch punktweise Addition". Beachte, daß das erste Plus das Plus zwischen Funktionen ist, das zweite dagegen das Plus in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ . Das ist begrifflich etwas anderes, auch wenn dasselbe Zeichen verwendet wird.

Jetzt berechne $\begin{eqnarray*} \delta_0(f+g) = \delta_0(s) \end{eqnarray*}$ .

08.12.2010, 19:03

G0rd0nGeKK0

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Bei mittleren Part bin ich mir unsicher:

$\begin{eqnarray*} s(x) := (2\cdot cos+e )(x)= 2\cdot cos(x) + e^{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \delta_{0}(2\cdot cos+e ) = \end{eqnarray*}$
Ne leider krieg ich das net hin unglücklich

unglücklich

Gott

08.12.2010, 19:14

Leopold

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Gar nicht übel! Aber man darf es nicht so schreiben. Da hat die Mathematik ein Notationsproblem. Das ist der Grund, warum ich für die betreffenden Funktionen Namen ( $\begin{eqnarray*} f,g,s \end{eqnarray*}$ ) eingeführt habe. Zur Definition von $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} s(x) = \left( f + g \right)(x) = f(x) + g(x) = 2 \cos x + \operatorname{e}^x \end{eqnarray*}$

(Das zweite Gleichheitszeichen ist ein Definitionsgleichheitszeichen.) Und mit dieser Vorarbeit läßt es sich jetzt auch formulieren:

$\begin{eqnarray*} \delta_0(f+g) = \delta_0(s) = \ldots \end{eqnarray*}$

08.12.2010, 19:24

G0rd0nGeKK0

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Gott ich hoffe ich habe so richtig gedacht: Hammer

Hammer

Hammer

Hammer

$\begin{eqnarray*} \delta_{0}(f+g ) = \delta_{0}(s) = (2\cdot cos(0) + e^{0} ) = 3 \end{eqnarray*}$

f+g bleibt doch einfach f+g oder? Ich kann das nicht umformen oder so.

08.12.2010, 19:36

Leopold

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Und wie du siehst, sind $\begin{eqnarray*} \delta_0(f+g) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \delta_0(f) + \delta_0(g) \end{eqnarray*}$ dasselbe. Das kann doch kein Zufall sein!
Kurzum - jetzt mußt du abstrahieren. Nicht mehr $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$ nehmen und keine konkreten Funktionen für $\begin{eqnarray*} f,g,s \end{eqnarray*}$ mehr! Nur der Zusammenhang $\begin{eqnarray*} s=f+g \end{eqnarray*}$ ist wichtig. Ich laß dich jetzt allein damit. Du wirst es hinkriegen.

Übrigens: Auch $\begin{eqnarray*} \delta_a(\lambda f) = \lambda \delta_a(f) \end{eqnarray*}$ ist noch nachzuweisen. $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ist hierbei ein Skalar (also eine reelle Zahl). Die Multiplikation eines Skalars mit einer Funktion (die Funktionen spielen ja hier die Rolle der "Vektoren") ist übrigens auch punktweise definiert:

$\begin{eqnarray*} q = \lambda f \end{eqnarray*}$ ist diejenige Funktion mit

$\begin{eqnarray*} q(x) = \left( \lambda f \right)(x) = \lambda f(x) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

Auch hier ist das zweite Gleichheitszeichen ein Definitionsgleichheitszeichen.

08.12.2010, 19:38

G0rd0nGeKK0

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Danke für alles, aber was meintest du nochmal mit "die Bildmenge ist offensichtlich", hast du damit auf die Aufgabe angespielt, den Kern zu bestimmen??

08.12.2010, 19:49

Leopold

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Nun, eine Linearform ist eine Abbildung in den Skalarkörper, und zwar eine lineare. Daß die Abbildung $\begin{eqnarray*} \delta_a \end{eqnarray*}$ in den Skalarkörper (hier $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ) abbildet, wird aber schon in der Definition der Abbildung $\begin{eqnarray*} \delta_a \end{eqnarray*}$ unterstellt:

$\begin{eqnarray*} \delta_a: \ \mathbb{R}^{\mathbb{R}} \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ (siehe rechts vom Pfeil)

Und es ist offensichtlich, weil $\begin{eqnarray*} \delta_a(f) = f(a) \end{eqnarray*}$ ja eine reelle Zahl ist.

08.12.2010, 21:13

G0rd0nGeKK0

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Hey ich hab überlegt, wie ich das allgemein formulieren kann, aber bin am verzweifeln unglücklich

unglücklich

traurig

traurig

Gott

$\begin{eqnarray*} \delta_{a}(f_{1} ) + \delta_{a}(f_{2}) = \delta_{a}(f_{1}+f_{2} ) \end{eqnarray*}$

08.12.2010, 21:18

Leopold

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Seien $\begin{eqnarray*} f,g \end{eqnarray*}$ zwei über $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ definierte Funktionen mit reellen Werten und sei $\begin{eqnarray*} s = f+g \end{eqnarray*}$ die Summenfunktion, also

$\begin{eqnarray*} s(x) = f(x) + g(x) \ \ \mbox{für alle} \ \ x \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

Dann gilt gemäß Definition von $\begin{eqnarray*} \delta_a \end{eqnarray*}$ einerseits

$\begin{eqnarray*} \delta_a(f) + \delta_a(g) = f(a) + g(a) \end{eqnarray*}$

und andererseits

$\begin{eqnarray*} \delta_a(f+g) = \delta_a(s) = \ldots \end{eqnarray*}$

08.12.2010, 22:06

G0rd0nGeKK0

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Ok hab das sauber aufgeschrieben jetzt. Nun zum Kern.

Also im Kern ist ja nur der Nullvektor enthalten. Das heißt, wie müsste mein Nullvektor aussehen, damit bei der Abbildung $\begin{eqnarray*} \delta_{a}(f) = 0 \end{eqnarray*}$ rauskommt? richtig?

08.12.2010, 22:18

Leopold

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Zitat:

Original von G0rd0nGeKK0
Also im Kern ist ja nur der Nullvektor enthalten. Das heißt, wie müsste mein Nullvektor aussehen, damit bei der Abbildung $\begin{eqnarray*} \delta_{a}(f) = 0 \end{eqnarray*}$ rauskommt? richtig?

Puh! Nein. Im Kern sind alle Vektoren (hier Funktionen) enthalten, die auf 0 abgebildet werden. Zu lösen ist also die Gleichung

$\begin{eqnarray*} \delta_a(f) = 0 \end{eqnarray*}$

Und gesucht sind - aufgepaßt! - die $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , die diese Gleichung erfüllen. Welche sind es?

08.12.2010, 22:21

G0rd0nGeKK0

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Alle Funktionen vom Typ $\begin{eqnarray*} \delta_{0}(f) = 0 \end{eqnarray*}$

oder? Hm Moment mal bei e^x kam ja 1 raus verwirrt

verwirrt

verwirrt

verwirrt

08.12.2010, 22:26

Leopold

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Warum betrachtest du auf einmal nur $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$ ? Du sollst eine beliebige Abbildung $\begin{eqnarray*} \delta_a \end{eqnarray*}$ betrachten. $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ist ein Parameter, zu jedem $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ gehört eine Abbildung $\begin{eqnarray*} \delta_a \end{eqnarray*}$ . Und von $\begin{eqnarray*} \delta_a \end{eqnarray*}$ sollst du den Kern bestimmen.

08.12.2010, 22:32

G0rd0nGeKK0

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Also es müssten ja theoretisch alle Funktionen $\begin{eqnarray*} \delta_{a}(f) \end{eqnarray*}$ die das Bild $\begin{eqnarray*} f(0) \end{eqnarray*}$ haben im Kern liegen. Also alle Funktionen vom Typ $\begin{eqnarray*} \delta_{a}(0) = 0 \end{eqnarray*}$ .

08.12.2010, 22:37

Leopold

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Zitat:

Original von G0rd0nGeKK0
$\begin{eqnarray*} \delta_{a}(0) = 0 \end{eqnarray*}$ .

Was soll das? $\begin{eqnarray*} \delta_a \end{eqnarray*}$ akzeptiert nur Funktionen als Eingaben!

Für jede lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} \varphi: V \to W \end{eqnarray*}$ besteht der Kern aus den Lösungen $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ der Gleichung $\begin{eqnarray*} \varphi(v) = 0 \end{eqnarray*}$ .

Warum löst du also nicht einfach die Gleichung $\begin{eqnarray*} \delta_a(f) = 0 \end{eqnarray*}$ ? Und $\begin{eqnarray*} \delta_a \end{eqnarray*}$ ist ja nicht irgendeine Abbildung $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ , sondern wie sie wirkt, steht im ersten Beitrag von dir.

08.12.2010, 22:41

G0rd0nGeKK0

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$\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ist aber auch eine Funktion, und zwar die Nullfunktion. Gott

Gott

Gott

Kann es einfach sein, dass du das hier meinst???

$\begin{eqnarray*} f = 0 \end{eqnarray*}$

Ich kann doch $\begin{eqnarray*} \delta_{a}(f) = 0 \end{eqnarray*}$ umformen zu

$\begin{eqnarray*} f = 0 \end{eqnarray*}$

08.12.2010, 23:00

Leopold

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Ok, wenn du bei $\begin{eqnarray*} \delta_a(0) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ die Nullfunktion meinst. Dennoch bringt dich das nicht weiter, denn $\begin{eqnarray*} \varphi(0) = 0 \end{eqnarray*}$ gilt für jede (!) lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ . Anders gesagt: Die $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ des Urbildraumes gehört immer zum Kern. Insofern ist $\begin{eqnarray*} \delta_a(0) = 0 \end{eqnarray*}$ eine Trivialität. Interessant sind doch gerade die Elemente des Kerns, die nicht $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ sind.

Ein anderes Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \varphi: \ \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R} \, , \ \ \varphi(x_1,x_2,x_3) = 2x_1 - x_2 + x_3 \end{eqnarray*}$

Was ist hier der Kern? Das sind die Lösungen der Gleichung $\begin{eqnarray*} \varphi(x_1,x_2,x_3) = 0 \end{eqnarray*}$ , nach Definition von $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ also alle $\begin{eqnarray*} (x_1,x_2,x_3) \in \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} 2x_1 - x_2 + x_3 = 0 \end{eqnarray*}$

Dazu gehört natürlich wie immer die $\begin{eqnarray*} 0 = (0,0,0) \end{eqnarray*}$ . Aber zum Beispiel auch $\begin{eqnarray*} (1,1,-1) \end{eqnarray*}$ . Aus der Schule weißt du, daß alle Punkte des Kerns von $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ eine Ebene bilden, die den Ursprung enthält, mit $\begin{eqnarray*} (2,-1,1) \end{eqnarray*}$ als Normalenrichtung.

Jetzt zurück zu unserer Abbildung $\begin{eqnarray*} \delta_a \end{eqnarray*}$ . Was ist hier der Kern? Ehrlich! Es ist so einfach. Du mußt nur endlich einmal die Definition von $\begin{eqnarray*} \delta_a \end{eqnarray*}$ anwenden. Dann steht es auch schon da. Viel sagen kann man nicht. Wie könnte man aber die Antwort auf die Frage nach den Kernelementen elegant formulieren?

08.12.2010, 23:13

G0rd0nGeKK0

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Du sagst ich soll rechnen:

$\begin{eqnarray*} \delta_{a}(f) = 0 \end{eqnarray*}$ Meinst du ich soll nach $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auflösen??? Ich glaub ich krieg das nicht hin, eben weil es zu einfach ist Forum Kloppe

Forum Kloppe

Forum Kloppe

Hammer

Hammer

08.12.2010, 23:17

Leopold

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RE: Beweis Linearform
Hier steht's! Und mehr ist nicht!

Zitat:

Original von G0rd0nGeKK0
Für $\begin{eqnarray*} a\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ betrachten wir die Abbildung

$\begin{eqnarray*} \delta_{a} :\mathbb R^{\mathbb R } \rightarrow \mathbb R , f\mapsto \delta_{a} (f):= f(a) \end{eqnarray*}$

Bitte nur die Definition der Abbildung $\begin{eqnarray*} \delta_a \end{eqnarray*}$ anwenden. Einfach nur tun! Nicht reden! Handeln!
Wenn dann das Ergebnis da steht, dann zu denken beginnen, was es besagt. Das ist alles.

08.12.2010, 23:36

G0rd0nGeKK0

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RE: Beweis Linearform
Ich soll mir also $\begin{eqnarray*} \delta_{a} : \mathbb R^{\mathbb R } \rightarrow\mathbb R \end{eqnarray*}$ genauer betrachten sagst du?? Aber was sagt mir diese Definition denn außer, dass ein R-VR in einen Körper abgebildet wird. Lautet etwa die Frage, welche R-VR ich brauche damit auf 0 abgebildet wird??? Lesen2

Lesen2

Lesen2

Also $\begin{eqnarray*} A\cdot x = 0 \end{eqnarray*}$

08.12.2010, 23:39

Leopold

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So, wie ich vorhin die Gleichung $\begin{eqnarray*} \varphi(x_1,x_2,x_3) = 0 \end{eqnarray*}$ gelöst habe, indem ich die Definition von $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ eingesetzt habe, sollst du nun die Kern-Gleichung

$\begin{eqnarray*} \delta_a(f) = 0 \end{eqnarray*}$

lösen, indem du die Definition von $\begin{eqnarray*} \delta_a \end{eqnarray*}$ einsetzt. Da ist null zu rechnen. Nur die Definition einsetzen. Dann steht es schon da.

EDIT

Ein Beispiel. Ich definiere drei reelle Funktionen $\begin{eqnarray*} u,v,w \end{eqnarray*}$ durch

$\begin{eqnarray*} u(x) = x^2 - 9 \, , \ \ v(x) = \frac{x - 2}{x^2 + 1} \, , \ \ w(x) = \begin{cases} 1 & \mbox{für} \ x<0 \\ 0 & \mbox{für} \ x \geq 0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Welche dieser drei Funktionen liegen im Kern von $\begin{eqnarray*} \delta_3 \end{eqnarray*}$ , erfüllen also die Gleichung

$\begin{eqnarray*} \delta_3(f) = 0 \end{eqnarray*}$

wenn man $\begin{eqnarray*} u,v,w \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ einsetzt?

08.12.2010, 23:47

G0rd0nGeKK0

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Ok ich mache was du sagst:
$\begin{eqnarray*} \delta_{a}: \mathbb R ^{\mathbb R } \rightarrow \mathbb R , \delta_{a} (f) = 0 \end{eqnarray*}$

Oh gott, wenn das die Lösung is schlag ich mich jezz^^ Big Laugh

Big Laugh

u(x) Die Funktion sagt, setze in f 3 ein also 9-9 = 0 f(0) = 0.

08.12.2010, 23:48

Leopold

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Schau mein EDIT im letzten Beitrag an. Dann kehre zurück zur Aufgabe.

08.12.2010, 23:57

Leopold

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Zitat:

Original von G0rd0nGeKK0
Ok ich mache was du sagst:
$\begin{eqnarray*} \delta_{a}: \mathbb R ^{\mathbb R } \rightarrow \mathbb R , \delta_{a} (f) = 0 \end{eqnarray*}$

Oh gott, wenn das die Lösung is schlag ich mich jezz^^ Big Laugh

Big Laugh

u(x) Die Funktion sagt, setze in f 3 ein also 9-9 = 0 f(0) = 0.

Was soll jetzt wieder $\begin{eqnarray*} f(0)=0 \end{eqnarray*}$ ? Da besteht doch überhaupt keine Zusammenhang zum Vorigen. Dagegen hast du recht, wenn du sagst, man solle 3 einsetzen. Also

$\begin{eqnarray*} \delta_3(u) = u(3) = 0 \end{eqnarray*}$

Damit erfüllt $\begin{eqnarray*} f=u \end{eqnarray*}$ die Gleichung $\begin{eqnarray*} \delta_3(f) = 0 \end{eqnarray*}$ . Also gehört $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ zum Kern von $\begin{eqnarray*} \delta_3 \end{eqnarray*}$ . Und $\begin{eqnarray*} v,w \end{eqnarray*}$ ?

08.12.2010, 23:58

G0rd0nGeKK0

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Ok also nach Definition von $\begin{eqnarray*} \delta_{a} \end{eqnarray*}$ also alle $\begin{eqnarray*} (f_1,....,f_n) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \in \mathbb R ^{\mathbb R } \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \delta_{a} (f) = 0 \end{eqnarray*}$ .

09.12.2010, 00:04

Leopold

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MUSTERLÖSUNG Kern

Sei $\begin{eqnarray*} f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ eine Funktion. Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} f \in \operatorname{Kern} \left( \delta_a \right) \ \ \Leftrightarrow \ \ \delta_a(f) = 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ f(a) = 0 \end{eqnarray*}$

Zum Kern von $\begin{eqnarray*} \delta_a \end{eqnarray*}$ gehören also genau diejenigen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , die bei $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ eine Nullstelle besitzen.

09.12.2010, 00:07

G0rd0nGeKK0

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LOL wie kommt man jetzt auf Nullstellen?? Ist mein vorletzter Beitrag etwa falsch gewesen?

OMG JEZZ KAPIER ICH ES!!! Hammer

Hammer

Hammer

LOL Hammer

LOL Hammer

NA KLAR NULLSTELLEN OMG..

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