Basis von Vektoren des IR^6

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08.12.2010, 18:42	MatheCons	Auf diesen Beitrag antworten »
Basis von Vektoren des IR^6 Meine Frage: Finden Sie eine Basis des Untervektorraumes W des IR^6, der von v1 = (0; 0; 2; 0; 3; 1); v2 = (0;-2; 1; 0; 0; 1); v3 = (0; 2; 1; 0; 3; 0); v4 = (0; 0; 1; 0; 2; 3) aufgespannt wird. Meine Ideen: Basen sind echt nicht mein Ding..
08.12.2010, 18:50	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis von Vektoren des IR^6 Bei diesen Ideen würde ich sagen: Ok, dann lass die Aufgabe eben aus...
08.12.2010, 18:58	MatheCons	Auf diesen Beitrag antworten »
ne so faul bin ich dann doch nicht, hab die vektoren jetzt mal in eine matrix gepackt: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & 0 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und kam nach umformung auf diese: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 & -5 \\ 0 & 0 & 0 & -10 \\ 0 & 0 & 0 & -16 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ daraus geht doch schon hervor, dass die vektoren linear unabhängig sind oder?
08.12.2010, 18:59	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
1. Matrix: gute Idee 2. Gaußumformungen: gute Idee 3. Schlussfolgerungen: fehlerhaft. Überdenken.
08.12.2010, 19:00	-_-	Auf diesen Beitrag antworten »
0,0,0,-10 und 0,0,0,-16 sind linear abhängig.
08.12.2010, 19:01	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach....
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08.12.2010, 19:03	MatheCons	Auf diesen Beitrag antworten »
stimmt, wenn ich das LGS nach $\begin{eqnarray} \lambda_1, \lambda_2 , \lambda_3 , \lambda_4 \end{eqnarray}$ auflöse, existiert nicht nur die triviale lösung für lamba..
08.12.2010, 19:05	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Seltsam ist des weiteren, dass deine neue Matrix andere Abmessungen hat....
08.12.2010, 19:06	MatheCons	Auf diesen Beitrag antworten »
ups, ja die 0-zeilen habe ich weggelassen
08.12.2010, 19:09	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Formal so eben unsauber. Also, reduziere auf eine Basis. Du kannst wie in "Basis des Bildes" vorgehen, wenn du die Vektoren in die Spalten einer Matrix schreibst. Dann wird eine Runde Argumentation draus. [Artikel] Basis, Bild und Kern
08.12.2010, 19:36	MatheCons	Auf diesen Beitrag antworten »
mhm bei dem Im(f) und Ker(f) steig ich noch nicht ganz durch, aber bin auf etwas anderes gestoßen. und zwar lässt sich doch der vektor $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ darstellen, welche auch beide vektoren meiner matrix sind.
08.12.2010, 19:39	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Link sagt, wie du das Ergebnis des Gaußalgo auch gleich ausschlachtest.
08.12.2010, 20:11	MatheCons	Auf diesen Beitrag antworten »
ich steh auf dem schlauch :/
08.12.2010, 20:12	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektoren in Spalten -> Erzeugendensystem des Bildes. Transponieren -> Gauss -> transponieren -> Basis des Bildes.
08.12.2010, 20:34	MatheCons	Auf diesen Beitrag antworten »
also $\begin{eqnarray} A^T \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & -2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2 & 3 \end{pmatrix} Gauß--> \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -15 \end{pmatrix} transp.--> \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & -3 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & -15\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und das is dann die Basis?
08.12.2010, 20:43	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum ist dein Gauß nun anders...
08.12.2010, 20:48	MatheCons	Auf diesen Beitrag antworten »
also so rum? $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & 0 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ --> $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 & -5 \\ 0 & 0 & 0 & -10 \\ 0 & 0 & 0 & -16 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ --> $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -5 & -10 & -16 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
08.12.2010, 20:56	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, schon die Spalten verrechnen. Sorry, du hast vorhin "einfach so" Gauß gemacht. Ich rechne das nun aber nicht nach, wird schon passen.
08.12.2010, 21:20	MatheCons	Auf diesen Beitrag antworten »
okay, dann bedanke ich mich ganz herzlich :-)

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