Konvergenz und Stetigkeit von Folgen

08.12.2010, 19:20

laramo

Konvergenz und Stetigkeit von Folgen

Meine Frage:
Hey leute.. brauch hilfe bitte!

Die Aufgabe lautet:
Gelten die folgenden zwei Aussagen? Beweise warum sie gelten oder gib ein Gegenbeispiel an.

1.) Eine Folge $\begin{eqnarray*} (a_{n})_{n \in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_{n}=a \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \geq n_{0} \end{eqnarray*}$ (für festes $\begin{eqnarray*} n_{0} \end{eqnarray*}$ ) konvergiert gegen a.

2.) Wenn $\begin{eqnarray*} (b_{n}) \end{eqnarray*}$ eine Folge mit $\begin{eqnarray*} b_{n} \to b \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f (b_{n} ) \to f(b) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$ gilt, dann ist f stetig in b.

Meine Ideen:
bei 1.) hät ich jetz auf anhieb gedacht, dass das ganze eine konstante funktion also f(x)=a ist sozusagen.. aber dann heißt es doch nicht mehr, dass es gegen a konvergiert, da es ja a den grenzwert sogar richtig annimmt.. oder hab ich da jetzt nen denkfehler drin?!
und vor allem.. wie zeig ich das mit einem gegenbeweis?

bei 2.) müsst ich das mit vollständiger Induktion über n machen?
wie sähen dann meine einzelnen schritte aus?

09.12.2010, 05:01

pseudo-nym

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RE: Konvergenz und Stetigkeit von Folgen

Zitat:

Original von laramo
Meine Ideen:
bei 1.) hät ich jetz auf anhieb gedacht, dass das ganze eine konstante funktion also f(x)=a ist sozusagen.

Das ist falsch, denn $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n \in \mathbb N} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_n = \begin{cases} 0 & n=0 \\ 1 & \text{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$
ist eine nichtkonstante Folge, dennoch erfüllt sie das Kriterium 1).

Zitat:

Original von laramo
aber dann heißt es doch nicht mehr, dass es gegen a konvergiert, da es ja a den grenzwert sogar richtig annimmt.

Das ist falsch. Eine konstante Folge konvergiert gegen den Wert den jedes ihrer Glieder annimmt.

Da fällt mir auf. Es gibt schon einen Thread zu dieser Frage:
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=436912&hilight=eine+Folge+AND+stetig+AND+konvergiert+gegen+AND+festes

09.12.2010, 16:13

laramo

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RE: Konvergenz und Stetigkeit von Folgen
oh die hab ich garnich gefunden.. aber da scheinen sie ja auch nicht auf ne wirkliche lösung des problems zu kommen..

zu 1.) wenn man sich die Definition von Konvergenz anschaut heißt es ja, dass es zu jedem $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ eine natürliche Zahl $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ gibt, so dass $\begin{eqnarray*} | a_{n} - a | < \epsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \geq N \end{eqnarray*}$

da ja $\begin{eqnarray*} a = a_{n} \end{eqnarray*}$ gilt, denn hat man ja $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ heißt das nun, dass die folge konvergent ist?

also gilt somit $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } a_{n} = a \end{eqnarray*}$ ?

und hast du nen tip zu 2.) ? die im anderen thread kommen auch dazu auf keinen grünen zweig!

10.12.2010, 04:58

pseudo-nym

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2) Die Aufgabe ist nicht präzise genug gestellt. Ich sehe da zwei Möglichkeiten.
Sei $\begin{eqnarray*} M^{\mathbb N} \end{eqnarray*}$ die Menge aller Folgen aus M.
$\begin{eqnarray*} \left(\forall (b_n)_n \in M^{\mathbb N} \lim_{n\to\infty} f\left(b_n\right)=f\left(\lim_{n\to\infty} b_n\right) \right) \Rightarrow f \text{ ist stetig} \end{eqnarray*}$
oder
$\begin{eqnarray*} \left(\exists (b_n)_n \in M^{\mathbb N} \lim_{n\to\infty} f\left(b_n\right)=f\left(\lim_{n\to\infty} b_n\right) \right) \Rightarrow f \text{ ist stetig} \end{eqnarray*}$
(Ist M bei euch $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ?)

Zitat:

da ja $\begin{eqnarray*} a = a_{n} \end{eqnarray*}$ gilt, denn hat man ja $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ heißt das nun, dass die folge konvergent ist?

Ich nehme an, du redest von der konstanten Folge und du meinst
$\begin{eqnarray*} \forall n \in \mathbb N : a = a_{n} \end{eqnarray*}$ (Formeln mit freien Variablen wie bei dir n sind keine Aussagen!)
Aus $\begin{eqnarray*} \varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$ folgt nicht $\begin{eqnarray*} a = a_n \end{eqnarray*}$ , weder für ein noch für alle n.
Ich kann mir auf deine Argumentation keinen Reim machen.

Nimm dir ein $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ und suche jetzt eine natürliche Zahl N, sodass für alle n, die größer als N sind, gilt $\begin{eqnarray*} | a_{n} - a | < \epsilon \end{eqnarray*}$

10.12.2010, 11:07

laramo

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aber ich hab doch gegeben, dass $\begin{eqnarray*} a_{n} = a \end{eqnarray*}$ ist?!
und wenn man es dann in die definition von konvergenz einsetzt?

und bei 2. weiß ich garnich was du genau meinst :S
meinst du M sind die reellen Zahlen?

10.12.2010, 12:20

pseudo-nym

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Zitat:

Original von laramo
aber ich hab doch gegeben, dass $\begin{eqnarray*} a_{n} = a \end{eqnarray*}$ ist?!

$\begin{eqnarray*} A(n) :\Leftrightarrow a_{n} = a = \lim_{n \to \infty} a_n \end{eqnarray*}$ ist eine Formel, welche von n abhängig ist. Betrachte etwa die Folge, die ich zu Anfang gepostet habe

Zitat:

Original von pseudo-nym
$\begin{eqnarray*} a_n = \begin{cases} 0 & n=0 \\ 1 & \text{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$

hier ist $\begin{eqnarray*} A(n) \end{eqnarray*}$ falsch für $\begin{eqnarray*} n=0 \end{eqnarray*}$ , denn es gilt
$\begin{eqnarray*} A(0) \Leftrightarrow a_0 = \lim_{n \to \infty} a_n = 1 \Leftrightarrow 0 = 1 \end{eqnarray*}$
Für alle anderen natürlichen n ist die Aussage richtig.

Wenn du also sagst, dass $\begin{eqnarray*} a_{n} = a \end{eqnarray*}$ gilt, dann musst du auch dazu sagen für welche Werte von n!

Zitat:

Original von laramo
meinst du M sind die reellen Zahlen?

Das musst du mir sagen, ich weiß das nicht. M ist der Defintionsbereich von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ .

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