Erwartungswerte vereinfachen

08.12.2010, 20:26

T0b1a5

Erwartungswerte vereinfachen

Nabend Leute,

ich habe ein Problem mit den Erwartungswerten, sowie Covarianzen. Also ich habe die Zufallsvariablen $\begin{eqnarray*} X,Y,Z \end{eqnarray*}$ . Für die gilt:
$\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} B(n,p) \end{eqnarray*}$ verteilt
$\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} H(n,k,m) \end{eqnarray*}$ verteilt
$\begin{eqnarray*} Z=X-Y \end{eqnarray*}$
Aus einer alten Aufgabe wissen wir außerdem, dass $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$ p-stochastisch-unabhängig sind.

Nun sollen wir folgende Covarianzen zeigen:
i) $\begin{eqnarray*} Cov(X,Y) \end{eqnarray*}$
ii) $\begin{eqnarray*} Cov(X,Z) \end{eqnarray*}$
iii) $\begin{eqnarray*} Cov(Y,Z) \end{eqnarray*}$

Nun folgender Ansatz:
Für iii) Da $\begin{eqnarray*} Y,Z \end{eqnarray*}$ unabhängig sind, sind diese auch unkorrelliert und damit $\begin{eqnarray*} Cov(Y,Z)=0 \end{eqnarray*}$
Für i) $\begin{eqnarray*} Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=E(XY)-np\cdot m\frac{k}{n}=E(XY)-pmk \end{eqnarray*}$
Für ii) $\begin{eqnarray*} Cov(X,Z)=E(XZ)-E(X)E(Z)=E(XZ)-np\cdot E(X-Y) \end{eqnarray*}$

Leider gilt: $\begin{eqnarray*} E\left(X-Y\right)\leq E\left(X\right)-E\left(Y\right) \end{eqnarray*}$ und somit nicht zu gebrauchen. Das heißt, dass ich die Erwartungswerte $\begin{eqnarray*} E\left(XY\right),E\left(XZ\right),E\left(Z\right) \end{eqnarray*}$ nicht weiter vereinfachen kann, da wir keine weiteren Eigenschaften mehr über diese ZV haben. Was übersehe ich?

Danke und Gruß

08.12.2010, 21:27

René Gruber

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Zitat:

Original von T0b1a5
Leider gilt: $\begin{eqnarray*} E\left(X-Y\right)\leq E\left(X\right)-E\left(Y\right) \end{eqnarray*}$ und somit nicht zu gebrauchen

Wie? Es gilt doch immer $\begin{eqnarray*} E(X-Y) = E(X)-E(Y) \end{eqnarray*}$ , ganz gleich ob die beiden unabhängig sind oder nicht - meinst du hier etwa das Produkt statt der Differenz?

Wie auch immer, du solltest auch bei i) und ii) die vorausgesetzte Unabhängigkeit von $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$ nutzen:

i) Es ist $\begin{eqnarray*} X=Y+Z \end{eqnarray*}$ und somit

$\begin{eqnarray*} \operatorname{cov}(X,Y) = \operatorname{cov}(Y+Z,Y)= \operatorname{cov}(Y,Y) + \operatorname{cov}(Z,Y) = \operatorname{var}(Y) + 0 \end{eqnarray*}$ ,

analog dann bei ii).

08.12.2010, 21:41

T0b1a5

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Sofern die Gleichheit gilt, kann man den Rest wirklich runter schreiben. Hatte wohl die Dreiecksungleichheit aus Versehen im Kopf.

Danke!

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