Konvergenz von Reihen

08.12.2010, 21:11	hilflos^10	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz von Reihen Meine Frage: Hallo zusammen, also ich soll die Reihe $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^\infty \left((- 1)^n(\sqrt{n+1}-\sqrt{n} \right) \end{eqnarray}$ auf Konvergenz untersuchen. Meine Ideen: Ich hab versucht, mit dem Leibnizkriterium zu argumentieren, dann müsste ich zeigen, dass (an), also die Folge ohne die -1^n davor monoton fallend und konvergent mit grenzwert 0 ist, aber irgendwie komme ich damit nicht weiter. Ich bin euch für Tipps sehr dankbar =)
08.12.2010, 22:20	Huy	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Idee ist richtig. Nimm halt an, $\begin{eqnarray} n_1 < n_2 \end{eqnarray}$ und zeige dann, dass: $\begin{eqnarray} \sqrt{n_1+1}-\sqrt{n_1} > \sqrt{n_2+1} - \sqrt{n2} \end{eqnarray}$ MfG
08.12.2010, 23:29	hilflos^10	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau das habe ich versucht, aber irgendwie klappt es nicht hier vernünftig aufzulösen. Ich habe versucht zu quadrieren aber irgendwie hat sich der Term nie weit genug vereinfacht.
08.12.2010, 23:35	René Gruber	Auf diesen Beitrag antworten »
Die übliche Methode wäre Erweitern mit der dritten binomischen Formel, d.h. $\begin{eqnarray} \sqrt{n+1}-\sqrt{n} = \frac{\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n} \right)\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n} \right)}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} = \frac{(n+1)-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} \end{eqnarray}$ , und dem Term rechts sieht man dann doch an, dass er monoton fallend in $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ ist.
08.12.2010, 23:54	hilflos^10	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, so klappts, vielen Dank. Und wie weise ich jetzt die Konvergenz nach? Ich hätte so argumentiert: wir wollen zeigen: $\begin{eqnarray} \|\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} \| \end{eqnarray}$ kleiner epsilon, also reicht es zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{n}} \end{eqnarray}$ gegen null konvergiert, also der Betrag davon kleiner epsilon ist, was man ja leicht nachweisen kann. Ist das soweit richtig?
09.12.2010, 00:13	René Gruber	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja schon - nun weiß ich nicht, mit welchem Detailreichtum das noch erwartet wird. Ich würd mal sagen, wenn man die Windelzeit der Grenzwertdefinition hinter sich hat, dann kann man jemanden $\begin{eqnarray} \sqrt{n}+\sqrt{n+1} \to\infty \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n \to\infty \end{eqnarray}$ auch mal so abkaufen.
Anzeige

09.12.2010, 00:22	hilflos^10	Auf diesen Beitrag antworten »
jap, stimmt schon^^ Aber so weiß ich, dass ichs wirklich von Grund auf nachweisen kann. Also vielen Dank nochmal für deine Hilfe =)

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »