Beweisen, dass stetige Funktion konstant ist

08.12.2010, 22:04

Gast101

Beweisen, dass stetige Funktion konstant ist

Meine Frage:
Hi Leute,

habe gerade immense Schwierigkeiten bei folgender Aufgabe:

Sei f:[0,1] --> R stetig mit
f(x) = f(x²) für alle x Element [0,1]

Beweisen Sie, dass f konstant ist.

Meine Ideen:
Leider fehlt es mir an Gefühl, wie man so ein Problem richtig angeht.
Da die Funktion stetig ist, habe ich mit dem Epsilon-Delta Kriterium angesetzt. Und zwar hab ich dann |f(x) - f(x0)| = |f(x²) - f(x0²)| < Delta
Und da |f(x) - f(x0)| < Epsilon gelten muss, folgt dass Epsilon = Delta ist. Aber recht viel bringen tut mir das irgendwie nicht unglücklich

Bin mir auch überhaupt nicht sicher, ob das so richtig ist, da der Funktionsterm mit f(x) = f(x²) gegeben ist und es ja eigentlich kein richtiger Funktionsterm ist sondern einfach eine Gleichheit von zwei Funktionen.

Bin demnach über jeden Tipp und Lösungsvorschlag dankbar!

lg

08.12.2010, 22:10

Sly

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Reine epsilon-delta Überlegungen helfen hier relativ wenig.

Nehme dir ein $\begin{eqnarray*} t\in (0,1) \end{eqnarray*}$ her. Dann gilt ja $\begin{eqnarray*} f(t)=f(t^2) \end{eqnarray*}$ . Widerrum gilt dieselbe Identität für $\begin{eqnarray*} t'=t^2 \end{eqnarray*}$ . Durch Einsetzen erhält man

$\begin{eqnarray*} f(t)=f(t^2)=f(t^4)=\dots=f(t^{2^n}) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ .

Was kannst du über die Folge $\begin{eqnarray*} t^{2^n} \end{eqnarray*}$ sagen?

09.12.2010, 12:38

Gast101

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Erstmal Danke für die schnelle Hilfe smile

Die Folge $\begin{eqnarray*} t^{2^{n}} \end{eqnarray*}$ ist für $\begin{eqnarray*} t \in \left(0,1\right) \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge. Da f stetig ist, muss dann $\begin{eqnarray*} f(t^{2^{n}}) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} f(0) \end{eqnarray*}$ für n gegen unendlich gelten.

Aber inwiefern kann ich dann weiter folgern, dass f konstant sein muss?

09.12.2010, 13:21

René Gruber

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Ist alles kürzlich schon mal hier besprochen worden:

Analysis - Konstanz einer Funktion

09.12.2010, 17:12

Sly

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Nachdem ich mir den Thread da angeschaut habe, würde ich dem Fragesteller dringend dazu anraten, HIER zu bleiben. Da die dortige Aufgabenstellung falsch ist, und sich die Posts erstmal hauptsächlich damit aufhalten, verwirrt das nur. Außerdem ist er schon nah an der Lösung.

@ Gast: Das hast du richtig erkannt. Aber du bist doch bereits fertig. Setze doch in deine Gleichung n=0 ein. Was siehst du dann.

Und wenn du das erkennst, was kannst du aufgrund der Stetigkeit von f über f(1) aussagen? (Der teilt fehlt noch)

09.12.2010, 17:50

Gast101

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ok, ich werd den anderen Thread dann mal ignorieren, wenn ich schon nah an der Lösung bin. Wenn ich n = 0 setze, dann erhalte ich f(1) für alle t Element (0,1).
Also die Voraussetzung wäre dann erfüllt, da f(1) = f(1²).

Aber ich kann leider immer noch nicht den Zusammenhang mit der Konstanz sehen bzw. ich weiß nicht, was jetzt zielführend wäre zu machen. Könntest du mir das vllt. noch ein bisschen genauer erklären? Dann steig ich hoffentlich dahinter.

lg

09.12.2010, 18:17

Sly

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Zitat:

Original von Gast101
ok, ich werd den anderen Thread dann mal ignorieren, wenn ich schon nah an der Lösung bin. Wenn ich n = 0 setze, dann erhalte ich f(1) für alle t Element (0,1).

Nein, da hast du dich wohl verrechnet. Setze nochmal ein Augenzwinkern

09.12.2010, 18:43

Gast101

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Sicher, dass du n=0 gemeint hast? Weil irgendwie macht das für mich nicht wirklich Sinn. Kann es sein, dass du t=0 gemeint hast oder steh ich total aufn Schlauch? verwirrt

Und kann es sein, dass es $\begin{eqnarray*} f(t^{2n}) \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} f(t^{2^{n}}) \end{eqnarray*}$ heißen muss?

09.12.2010, 21:49

Sly

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Ja und nein. Kann es sein, dass du in deinen Rechnungen dauernd $\begin{eqnarray*} 2^0=0 \end{eqnarray*}$ einsetzt? Das ist nämlich falsch.

09.12.2010, 22:35

Gast101

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jup so hab ich es gemacht, da du gemeint hast, ich sollte n=0 setzen. Deshalb meinte ich ja, dass das irgendwie nicht wirklich Sinn macht. traurig

10.12.2010, 09:33

René Gruber

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Zitat:

Original von Sly
Nachdem ich mir den Thread da angeschaut habe, würde ich dem Fragesteller dringend dazu anraten, HIER zu bleiben.

Na klar, ist dein Revier hier, mach was du für richtig hältst. Immerhin wird aber in dem verlinkten Thread - trotz der Verwirrungen am Anfang - deutlich auf die Frage eingegangen, warum es so wichtig ist, die Stetigkeit an den Intervallgrenzen 0 bzw. 1 zu haben. Diese Botschaft scheint ja auch hier noch nicht so ganz angekommen zu sein, so zumindest mein Eindruck. Augenzwinkern

10.12.2010, 09:48

Sly

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Zitat:

Original von René Gruber

Zitat:

Original von Sly
Nachdem ich mir den Thread da angeschaut habe, würde ich dem Fragesteller dringend dazu anraten, HIER zu bleiben.

lol ich habe hier kein Revier. Aber wenn du meinst - klär mich auf, was ist denn so enorm wichtig, was da erwähnt wird? Denn gleichmäßige Stetigkeit braucht man mit keinem Wort im Beweis zu erwähnen, das wiederum kommt da als großer "AHA"-Effekt, wenn ich das richtig gelesen habe.

@ Gast: Eine positive Zahl mit 0 potenziert ergibt immer 1! Wir sind ja in meinem ersten Post hier nicht bei f(0) gestartet in der Gleichungskette, sondern von f(t). Die Argumente werden immer quadriert, das heißt bei jedem Schritt verdoppelt sich der Exponent. Deshalb auch $\begin{eqnarray*} 2^n \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} 2n \end{eqnarray*}$ . So JETZT setze bitte mit deinen bereits gewonnen Erkenntnissen n=0 ein. Was erhälst du für f(t) für $\begin{eqnarray*} t\in (0,1) \end{eqnarray*}$ ?

10.12.2010, 18:56

Gast101

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jap, bin dann auch noch darauf gekommen, dass es $\begin{eqnarray*} 2^n \end{eqnarray*}$ heißen muss smile

Für n = 0 erhalte ich dann immer f(t) in jedem Glied der Gleichungskette.

10.12.2010, 20:08

René Gruber

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10.12.2010, 20:21

René Gruber

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Zitat:

Original von Sly
klär mich auf, was ist denn so enorm wichtig, was da erwähnt wird?

In diesem rüden Ton rede ich gar nicht mit dir. Und der obige Link war nicht für dich, sondern den Fragesteller gedacht: Mag er entscheiden, ob die Betrachtungen im verlinkten Thread ihm beim Verständnis helfen, oder nicht. Es ist nicht gerade ein Zeichen von Souveränität von dir, dass du auf das bloße Anbringen eines Links zu einem Thread gleichen Themas gleich so aggressiv und abwertend reagierst. unglücklich

11.12.2010, 01:06

Sly

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Zitat:

Original von René Gruber

Zitat:

Original von Sly
klär mich auf, was ist denn so enorm wichtig, was da erwähnt wird?

Mal ganz ruhig. Das ist mal wieder ein typisches Beispiel dafür, dass schriftliche Kommunikation zu Missverständnissen führt.
Nein, das war kein rüder Ton. Ich meinte es ernst. Ich sah einfach keine Sachen dort, die im Zusammenhang großartig von Bedeutung sind und äußerte diese Meinung. Von Aggressivität kann da doch keine Rede sein. Augenzwinkern

Also ernsthaft jetzt. Mag sein, dass ich mal 1-2 Sätze provokativ formuliere, aber wir sind in einem MATHE board. Ich habe echt besseres zu tun, als meine Zeit damit zu vergeuden, mich mit Leuten anzulegen. Das ist nie mein Anliegen. Und ja, ich bin mit provokativ formulierten Sätzen auch schon auf die Nase gefallen. Aber wenn mein Gegenüber Recht hat und dies auch erläutert, gebe ich ihm auch Recht - davon will ich aber dann überzeugt werden.

@ Gast: Gut. Ist dir jetzt die Lösung klar? Wenn ja, wäre es noch sehr nett von dir, wenn du deine Lösung noch einmal kurz zusammenfassend aufschreibst (also hier). Das wäre nach den Konventionen des Boardes üblich und du würdest einem künftigen Fragesteller damit vielleicht einen großen Gefallen tun. ^^

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