Austauschsatz Beispiel

08.12.2010, 23:39

Aufmschlauchsteher

Austauschsatz Beispiel

Meine Frage:
hey kann mir schnell einer den austauschsatz am beispiel der gegebenen Basis $\begin{eqnarray*} \left\{(0,2,1,0,3,0),(0,0,2,0,0,2),(0,0,0,0,-3,0)(0,0,0,0,0,-15)\right\} \end{eqnarray*}$ erklären?

Meine Ideen:
Sei V ein endlich erzeugter Vektorraum über dem Körper K mit der Basis {b1 , ..., bn }. Für alle vom Nullvektor verschiedenen Vektoren bilden dann auch die Vektoren
{b1 , ..., bk-1 , v, bk + 1 , ..., bn }
eine Basis.
Da blick ich nicht durch, und werde ich heute auch nich mehr durchblicken, muss allerdings morgen früh abgeben :/ bin krankheitsbedingt spät dran, hoffe ihr könnt mir helfen.

08.12.2010, 23:47

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Austauschsatz Beispiel

Zitat:

Original von Aufmschlauchsteher

Sei V ein endlich erzeugter Vektorraum über dem Körper K mit der Basis {b1 , ..., bn }. Für alle vom Nullvektor verschiedenen Vektoren bilden dann auch die Vektoren
{b1 , ..., bk-1 , v, bk + 1 , ..., bn } eine Basis.

Nicht, wenn v als Linearkombination $\begin{eqnarray*} a_1 \vec{b_1}+a_2 \vec{b_2}+....+a_{k-1} \vec{b_{k-1}}+a_{k+1} \vec{b_{k+1}}+....+a_n\vec{b_n}=v \end{eqnarray*}$ mit nicht trivialer Lösung geschrieben werden kann.

09.12.2010, 00:22

Risuku

Auf diesen Beitrag antworten »

Also das funktioniert so:

sagen wir du willst den Vektor $\begin{eqnarray*} (0,0,4,0,-3,4) \end{eqnarray*}$ reintauschen.
Für den gilt offensichtlich (habe mal ein leichtes Beispiel gewählt):

$\begin{eqnarray*} (0,0,4,0,-3,4) = 0*(0,2,1,0,3,0) + 2*(0,0,2,0,0,2) + 1*(0,0,0,0,-3,0) + 0*(0,0,0,0,0,-15) \end{eqnarray*}$

Aus dem Austauschsatz folgt nun das du für $\begin{eqnarray*} (0,0,4,0,-3,4) \end{eqnarray*}$ nun entweder

$\begin{eqnarray*} (0,0,2,0,0,2) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} (0,0,0,0,-3,0) \end{eqnarray*}$

rausschmeißen kannst.
Kurz: Für deinen neuen Vektor v darfst du nur einen der Vektoren rausschmeißen, welcher beim bilden der Linearkombination zu v einen von Null verschiedenen Koeffizienten hat. Es kann durchaus sein, dass du mehrere zur Auswahl hast.

Gruß

09.12.2010, 00:42

Aufmschlauchsteher

Auf diesen Beitrag antworten »

alles klar habs verstanden smile

vielen dank dir!

Neue Frage »

Antworten »

Austauschsatz Beispiel

Verwandte Themen