Lineare Abbildungen

09.12.2010, 09:52

Icheben3

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Lineare Abbildungen

Es sei $\begin{eqnarray*} \varphi : \mathbb R ^3 \to \mathbb R ^3 \end{eqnarray*}$ eine lineare Abbildung mit

$\begin{eqnarray*} \varphi(1,1,0) = \begin{pmatrix} -1 \\ 7 \\ 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \varphi(1,0,2) = \begin{pmatrix} 3 \\ 9 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \varphi(0,0,1) = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Außerdem seien

$\begin{eqnarray*} B=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C=\{(1,1,0),(1,0,2),(0,0,1)\} \end{eqnarray*}$

jeweils eine Basis des $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^3 \end{eqnarray*}$ .

1) Berechnen sie die Bilder der Basisvektoren von B unter der Abbildung $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ .

2) Geben sie die Matrizen $\begin{eqnarray*} _B\varphi _B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} _B\varphi _C \end{eqnarray*}$ an, die obige Abblidung in den jeweiligen Basen beschreiben

3) Bestimmen sie $\begin{eqnarray*} Ker(\varphi) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Im(\varphi) \end{eqnarray*}$

Ich bin ehrlich gesagt sehr aufgeschmissen. Verstehe zum größten Teil nur K21 (Bahnhof) smile

smile

kann mir mal jemand einen Denkanstoß verpassen oder irgendwas , was vielleicht etwas Klarheit in mein Hirn bringt?? Ich habe zu dem Thema lineare Abbildung in der Vorlesung schon relativ wenig mitgenommen und hab es mit jetzt mal versucht so beizubringen über Bücher, Skripte etc... aber irgendwie macht diese Aufgabe nach wie vor noch keinen sinn für mich smile

smile

Würde mich über Hilfe sehr freuen...greez Leo

09.12.2010, 10:35

klarsoweit

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RE: Lineare Abblidungen

Zitat:

Original von Icheben3
Ich habe zu dem Thema lineare Abbildung in der Vorlesung schon relativ wenig mitgenommen und hab es mit jetzt mal versucht so beizubringen über Bücher, Skripte etc.

Da wirst du dir aber noch einiges durchlesen müssen. smile

smile

Als erstes mußt du mal die Vektoren der Basis B als Linearkombination der Basis C darstellen. Dann kannst du problemlos die Bilder der Basisvektoren von B bestimmen.

09.12.2010, 11:35

Icheben3

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also
$\begin{eqnarray*} c_1 = b_1+b_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c_2 = b_1+2\cdot b_3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c_3=b_3 \end{eqnarray*}$

das wären doch meine liniear kombinationen, oder?

also ist
$\begin{eqnarray*} _B\varphi_B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0& 1& 0 \\ 0 &0 &1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} _B\varphi_C = \begin{pmatrix} 1& 1& 0 \\ 1 &0 &2 \\ 0& 0& 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
oder hab ich das falsch verstanden mit der Abbildungsmatrix?

09.12.2010, 12:26

klarsoweit

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Zitat:

Original von Icheben3
also
$\begin{eqnarray*} c_1 = b_1+b_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c_2 = b_1+2\cdot b_3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c_3=b_3 \end{eqnarray*}$

das wären doch meine liniear kombinationen, oder?

Jetzt hast du die Vektoren von C als Linearkombination von Vektoren von B geschrieben. Ich wollte es aber gerade umgekehrt haben.

Den Rest vergessen wir einfach mal.

09.12.2010, 12:38

Icheben3

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$\begin{eqnarray*} b_1=c_2-2\cdot c_3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b_2=c_1-c_2+2\cdot c_3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b_3=c_3 \end{eqnarray*}$

also dann wohl so?!^^

09.12.2010, 13:32

klarsoweit

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OK. Jetzt kannst du auch sagen, was phi(b_i) mit i =1,2,3 ist.

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09.12.2010, 20:02

Icheben3

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ach kann ich das?? sorry aber ich hab so viele begriffe im kopf und iwie is da die struktur verloren gegangen....ich versteh wirklich nur bahnhof

13.12.2010, 16:38

serik87

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kann mir jemand sagen was "Bilder der Basisvektoren von B unter der abbildung phi" sind?

13.12.2010, 18:36

klarsoweit

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Wo ist denn jetzt das Problem? verwirrt

verwirrt

Du mußt doch nur die Linearität der Abbildung phi ausnutzen:

$\begin{eqnarray*} \varphi(b_1) = \varphi(c_2 - 2 \cdot c_3) = \varphi(c_2) - 2 \cdot \varphi(c_3) \end{eqnarray*}$

13.12.2010, 20:40

Icheben3

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ja ich habs jetzt mit einem gleichungssystemgelöst

auf alle fälle kommt jetzt bei mir raus:
$\begin{eqnarray*} \varphi(b_1) = \begin{pmatrix} -1 \\ 1\\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \varphi(b_2) = \begin{pmatrix} 0 \\ 6\\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \varphi(b_3) = \begin{pmatrix} 2 \\ 4\\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ist jetzt dem entsprechend mein $\begin{eqnarray*} _B\varphi_B = \begin{pmatrix} -1& 0 &2 \\ 1&6&4\\ 3&3&-3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} _B\varphi_C = \begin{pmatrix} --1&3&2 \\ 7&9&4\\ 6&-3&-3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?

14.12.2010, 09:25

klarsoweit

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Die Matrix für $\begin{eqnarray*} _B\varphi_B \end{eqnarray*}$ ist richtig.

Bei $\begin{eqnarray*} _B\varphi_C \end{eqnarray*}$ ist die Frage, was mit der Schreibweise gemeint ist. Sollen die Bilder der Basisvektoren von B in der Basis von C dargestellt werden, dann ist die Matrix falsch.

14.12.2010, 10:16

Icheben3

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das ist ja das problem....ich habe glaube ich noch nicht 100% verstanden was $\begin{eqnarray*} _B\varphi_C \end{eqnarray*}$ heißt

ich dachte das heißt eben genau das "gegenteil":
die bilder der basisvektoren von C sollen in der basis B dargestellt werden!?

14.12.2010, 10:18

keinplanvonallem

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könntest du noch erklären wie man auf das bild und den kern kommt?

14.12.2010, 10:27

Icheben3

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du musst da glaube ich einfach eine allgemeine form für $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ aufstellen also $\begin{eqnarray*} \varphi(x)=Ax \end{eqnarray*}$ und dann rechnest du dieses A aus über gleichungssysteme...wenn du es geschickt machen willst guckst dir einfach B an, siehst dass B die einheitsmatrix ist, also muss $\begin{eqnarray*} A=_B\varphi_B \end{eqnarray*}$ sein.

Soweit ich das richtig sehe ist dann $\begin{eqnarray*} Im(\varphi)=\{A\vec{x}, \vec{x} \in \mathbb R ^3\} \end{eqnarray*}$ und für den kern musste eben das $\begin{eqnarray*} A\vec{x}=0 \end{eqnarray*}$ lösen

richtig???

14.12.2010, 10:41

klarsoweit

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Zitat:

Original von Icheben3
das ist ja das problem....ich habe glaube ich noch nicht 100% verstanden was $\begin{eqnarray*} _B\varphi_C \end{eqnarray*}$ heißt

Dazu sollte es eine Definition geben, die ich nicht kenne, da ich nicht in der Vorlesung war.
Nach meinem (nicht maßgeblichen) Verständnis ist $\begin{eqnarray*} _B\varphi_C \end{eqnarray*}$ die Darstellungsmatrix der Basisvektoren von B in der Basis C.

14.12.2010, 10:46

Icheben3

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0o ne also $\begin{eqnarray*} _B\phi_C \end{eqnarray*}$ ist eine Abbildugnsmatrix. also eine Matrix aller Abbildungen

14.12.2010, 11:30

stroppulum

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Die Spalten der Matrix $\begin{eqnarray*} _B\varphi_C \end{eqnarray*}$ sind die Koordinatenvektoren bezüglich $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ der Bilder der Basisvektoren aus $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ unter $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} _B\varphi_C= ( _B(\varphi(c_1))..._B(\varphi(c_n))) \end{eqnarray*}$ .

14.12.2010, 12:03

klarsoweit

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Also ich habe jetzt mal eine Intersetseite gefunden, die das zu bestätigen scheint. Demzufolge ist also in der Tat $\begin{eqnarray*} _B\varphi_C = \begin{pmatrix} -1&3&2 \\ 7&9&4\\ 6&-3&-3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Wäre trotzdem mal ganz nett, wenn Icheben3 die Definition aus seiner Vorlesung ausgraben könnte.

14.12.2010, 12:22

Icheben3

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ich zitiere:

Zitat:

Satz:
Jede lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} \varphi: V \to W \end{eqnarray*}$ wird bezüglich der Basen B und C beschrieben durch eine Matrix $\begin{eqnarray*} _C\varphi_B \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} _C(\varphi(v))=_C\varphi_B \cdot _Bv \end{eqnarray*}$

Die Spalten der Matrix $\begin{eqnarray*} _C\varphi_B \end{eqnarray*}$ sind die Koordinaten bezüglich C der Bilder der Basisvektoren aus B unter $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} _C\varphi_B=(_C(\varphi(b_1))..._C(\varphi(b_n))) \end{eqnarray*}$ .

wenn dir das weiter hilft^^...mir hats nicht weiter geholfen

14.12.2010, 12:30

klarsoweit

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Das bestätigt den Beitrag von stroppulum:

Zitat:

Original von stroppulum
Die Spalten der Matrix $\begin{eqnarray*} _B\varphi_C \end{eqnarray*}$ sind die Koordinatenvektoren bezüglich $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ der Bilder der Basisvektoren aus $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ unter $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} _B\varphi_C= ( _B(\varphi(c_1))..._B(\varphi(c_n))) \end{eqnarray*}$ .

Du bildest also sukzessive $\begin{eqnarray*} \varphi(c_1) \end{eqnarray*}$ etc. und stellst diese Bildvektoren in der Basis B dar. Das ist besonders einfach, da B die Basis aus den kanonischen Einheitsvektoren ist. Die Koordinatenvektoren bezüglich der Basis B sind also einfach die Bildvektoren selbst. Diese trägst du als Spalten in die Matrix ein. Fertig.

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