Konv. einer Reihe

09.12.2010, 10:28

StudentT

Konv. einer Reihe

Hallo zusammen!

Wie schon im Betreff geschrieben, scheitere ich mit allen Konvergenzkriterien an der Reihe (&#8730 traurig

n+1)-√n)/√n. Ich weiß schon, dass Sie zwar kleiner ist als 1/n aber größer als 1/(n√n), beim Quotientenkriterium kommt in allen erdenklichen Varianten 1 heraus, Wurzelkriterium ist bei dem Term wohl kaum anwendbar. Ich weiß noch nicht mal, ob die Reihe überhaupt konvergiert oder nicht. Weiß jemand vielleicht, mit welcher Reihe man diese vergleicht, um Konvergenz oder Divergenz zu zeigen? Danke schon mal!

Gruß
Markus

09.12.2010, 10:36

Cel

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Vielleicht hast du es noch nicht gesehen: Man kann deine Reihe nicht erkennen, müsstest du noch mal verbessern.

Deinen Titel habe ich auch mal modifiziert.

09.12.2010, 10:54

StudentT

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Hallo

und danke für den Hinweis! Jetzt ist es leider schon zu spät, das noch in der Originalnachricht zu korrigieren. Also die fragliche Reihe lautet:

$\begin{eqnarray*} \sum \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt n}{\sqrt n} \end{eqnarray*}$

Hoffentlich liest das jetzt überhaupt noch wer, nachdem die Nachricht schon beantwortet wurde...

Gruß
Markus

09.12.2010, 11:04

klarsoweit

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Erweitere den Bruch mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{n+1} + \sqrt n \end{eqnarray*}$ . smile

09.12.2010, 11:20

StudentT

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Hallo

und danke für den Tipp! Aber soweit war ich natürlich auch schon. Dann sieht man sofort, dass die Folge gegen Null geht, was aber nur ein notwendiges Kriterium für die Konvergenz der Reihe ist, jedoch nicht hinreichend. Hat jemand vielleicht einen entscheidenden Hinweis, z.B. eine konkrete Reihe, mit der man diese sinnvoll vergleichen kann? Oder kann jemand genau sagen, ob die Reihe definitiv konvergiert oder divergiert?

Gruß
Markus

09.12.2010, 11:24

klarsoweit

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Zitat:

Original von StudentT
Aber soweit war ich natürlich auch schon.

Schön. Und warum sagst du das dann nicht?

Wie sieht nun der Summenterm aus? Womit kann man ihn näherungsweise vergleichen?

09.12.2010, 12:35

StudentT

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Hallo!

Welche Kriterien ich bereits angewandt habe und was dabei herausgekommen ist hatte ich ja bereits in Kürze geschrieben. Es ist also

$\begin{eqnarray*} \sum \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt n}{\sqrt n}\cdot\frac{\sqrt{n+1}+\sqrt n}{\sqrt{n+1}+\sqrt n}=\sum \frac{1}{\sqrt{n(n+1)}+n}\;. \end{eqnarray*}$

Das ist zwar kleiner als $\begin{eqnarray*} \tfrac{1}{n} \end{eqnarray*}$ , was eine divergente Reihe ist aber auch größer als die konvergente Reihe $\begin{eqnarray*} \tfrac{1}{n\sqrt n} \end{eqnarray*}$ . Was ich also z.B. brauche ist eine konvergente Majorante. Weiß jemand eine, bei der man die Ungleichung auf ein bis zwei Seiten beweisen kann?

Gruß
Markus

09.12.2010, 13:26

klarsoweit

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Zitat:

Original von StudentT
Was ich also z.B. brauche ist eine konvergente Majorante.

Was du brauchst, ist eine divergente Minorante. Warum frage ich wohl danach, womit man den Summenterm näherungsweise vergleichen kann? Und da die "+ 1" bei großen n kaum etwas ausmacht, lassen wir sie testweise mal weg:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{n(n+1)}+n} \sim \frac{1}{\sqrt{n^2}+n} = \frac{1}{2n} \end{eqnarray*}$

Also haben wir eine große Nähe zur divergenten Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~\frac{1}{2k} \end{eqnarray*}$ .

Jetzt brauchen wir nur noch eine geeignete Abschätzung. Da gehen wir etwas brutal vor:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{n(n+1)}+n} \geq \frac{1}{\sqrt{n \cdot 4n} + n} = \frac{1}{3n} \end{eqnarray*}$

Und solche Überlegungen sind doch nun wirklich nicht zu schwer. Augenzwinkern

09.12.2010, 22:01

StudentT

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Hallo!

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von StudentT
Was ich also z.B. brauche ist eine konvergente Majorante.

Was du brauchst, ist eine divergente Minorante.

Danke, der Satz hätte mir wahrscheinlich genügt, da ich einfach zu intensiv in die falsche Richtung versucht habe. Ich war mir eben irgendwie sicher, dass das Teil konvergiert, was es eben nicht tut. Danke für den ausführlichen Hinweis jedenfalls!

Gruß
Markus

09.12.2010, 23:47

Kretos

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Ich hätte da noch eine andere Frage, vll. könnt ihr mir helfen:

Ich suche eine KONVERGENTE Reihe, deren Quadrat DIVERGENT ist.
Will damit die Implikation $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty a_{n} \Rightarrow \sum_{n=0}^\infty a_{n}^{2} \end{eqnarray*}$ widerlegen.

Jmd ne Idee?

Edit: Ich hätte da eine Idee, aber ich weiß nicht wie ich die Konvergenz zeigen soll.. (Darf nur Wurzel-, Quotienten, Minoranten- und Majorantenkrit. nutzen oder Vergleiche/Abschätzungen mit anderen bekannten Reihen)

$\begin{eqnarray*} a_{n}:=\frac{-1}{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$ müsste konvergent sein, das Quadrat ist die harmonische Reihe..

10.12.2010, 00:32

Risuku

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Zitat:

Original von Kretos
....

Ich suche eine KONVERGENTE Reihe, deren Quadrat DIVERGENT ist.
Will damit die Implikation " $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty a_{n} \end{eqnarray*}$ kovergent $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \sum_{n=0}^\infty a_{n}^{2} \end{eqnarray*}$ konvergent" widerlegen.

Nimm lieber diese Reihe (vllt meintest du die auch):

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty (-1)^n * \frac{1}{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$

Nach Leibniz und deren Quadrat ist die harmonische Reihe. Weil bei deiner Reihe bin ich mir über die Konvergenz nicht im klaren.

lg

10.12.2010, 00:50

Kretos

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Zitat:

Original von Risuku
...
Nach Leibniz und deren Quadrat ist die harmonische Reihe.

Bei uns im Skript fangen die Reihen für Leipniz immer bei n=1 an. Ist das egal?
Falls ja:
Leibniz leuchtet ein smile

Allerdings konvergiert nach dem Leibniz- Kriterium auch die alternierende harmonische Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac {(-1)^{n}}{n} \end{eqnarray*}$ !
(ich glaube gegen -ln(2) )

Und die würde ich doch bekommen, wenn ich deine Reihe quadriere, oder?

Mein Tutor meinte halt, dass er schon denkt, dass meine Reihe konvergiert, ihm aber da nur ein Weg als Beweis einfallen würde, dessen Kriterium wir noch nicht hatten..
Wenn ich nur wüsste welches Kriterium er meinte, könnte ich es trotzdem nutzen smile

10.12.2010, 05:16

alex2007

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Zitat:

Original von Kretos

Zitat:

Original von Risuku
...
Nach Leibniz und deren Quadrat ist die harmonische Reihe.

Bei uns im Skript fangen die Reihen für Leipniz immer bei n=1 an. Ist das egal?
Falls ja:
Leibniz leuchtet ein smile

Achtung, da haste dich verrechnet.
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \left(\frac {(-1)^{n}}{\sqrt{n}}\right)^2 \neq \sum_{n=1}^\infty \frac {(-1)^{n}}{n} \end{eqnarray*}$

Das solltest du dir anhand der Potenzgesetze nochmal klarmachen und dann siehst du, dass da nichts alternierendes herauskommt, sondern nur die harmonische Reihe und die ist bekantlich nicht konvergent. Dait wäre dein Beweis also gelungen.

10.12.2010, 07:15

Kretos

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Zitat:

Original von alex2007
Achtung, da hast du dich verrechnet.
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \left(\frac {(-1)^{n}}{\sqrt{n}}\right)^2 \neq \sum_{n=1}^\infty \frac {(-1)^{n}}{n} \end{eqnarray*}$

Also mir ist klar, dass da eigentlich stehen müsste:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \left(\frac {(-1)^{n}}{\sqrt{n}}\right)^2 = \sum_{n=1}^\infty \frac {(-1)^{n^{2}}}{n} \end{eqnarray*}$

Allerdings ist $\begin{eqnarray*} (-1)^{n^{2}} \end{eqnarray*}$ weiterhin alternierend, das Quadrat ist abwechselnd gerade und ungerade (1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ...).
Von daher ist es nicht das Gleiche wie die alternierende harmonische Reihe, aber dem zumindest ähnlich und müsste daher nach Leipniz weiterhin konvergieren.

Oder wo ist nun mein Fehler?

10.12.2010, 10:22

alex2007

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Zitat:

Original von Kretos

Zitat:

Original von alex2007
Achtung, da hast du dich verrechnet.
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \left(\frac {(-1)^{n}}{\sqrt{n}}\right)^2 \neq \sum_{n=1}^\infty \frac {(-1)^{n}}{n} \end{eqnarray*}$

Das ist immernoch falsch. Das Potenzgesetz lautet anders. Wenn ich eine bereits potenzierte Zahl wieder potenziere, dann Multiplizieren sich die exponenten! Also was steht dann da? Achja, du quadrierst übrigens nicht nur das n, sondern den gesamten Term inklusive (-1), wo schon allein klar sein müsste, dass da immer 1 rauskommt.

10.12.2010, 12:50

Kretos

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Zitat:

Original von alex2007
Das ist immernoch falsch. Das Potenzgesetz lautet anders. Wenn ich eine bereits potenzierte Zahl wieder potenziere, dann Multiplizieren sich die exponenten! Also was steht dann da? Achja, du quadrierst übrigens nicht nur das n, sondern den gesamten Term inklusive (-1), wo schon allein klar sein müsste, dass da immer 1 rauskommt.

Mmmhhh...

Bin ich ein Holzkopf..
Natürlich werden die Exponenten multipliziert, wie komm ich auch auf das potenzieren?!
Ja dann hab ich natürlich:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \left(\frac {(-1)^{n}}{\sqrt{n}}\right)^2 = \sum_{n=1}^\infty \frac {(-1)^{2n}}{n} = \sum_{n=1}^\infty \frac {1}{n} \end{eqnarray*}$

Und letzteres ist als harmonische Reihe divergent. Danke und sorry für das BRETT vorm Kopf ^^

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