Nullstellen Polynom 5. Grades

09.12.2010, 11:16

Lisa1391

Nullstellen Polynom 5. Grades

Hallo :-)

Meine Aufgabe war es alle Nullstellen des Polynoms

$\begin{eqnarray*} p(z) = z^{5}- z^{4} - 5z^{3}+5z^{2}+4z-4 \end{eqnarray*}$

zu bestimmen.

Durch Polynomdivison habe ich nun die Nullstellen 1, -1, -2 heraus und würde gerne wissen ob es noch weitere gibt. Ich weiß nicht wie ich die weiteren noch herausfinden kann...

09.12.2010, 11:19

wisili

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RE: Nullstellen Polynom 5. Grades
Wenn du die 6 Summanden der Reihe nach in Zweiergruppen gliederst und dann gruppenweise ausklammerst, findest du die vollständige Faltorzerlegung.

09.12.2010, 11:25

Lisa1391

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Okay ich probiers mal, danke!

09.12.2010, 11:28

wisili

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Zitat:

Original von lisbeth_salander
Du meinst so:

$\begin{eqnarray*} ...= (z^{5}-z^{4})+(5z^{3}+5z²)+(4z-4) = z^{4}(z-1) + 5z² (z+1) + 4 (z-1) ? \end{eqnarray*}$

Ohne Vorzeichenfehler:

$\begin{eqnarray*} z^{4}(z-1) - 5z² (z-1) + 4 (z-1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = (z-1) (z^{4} - 5z^{2} + 4) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = (z-1) (z^{2} - 4)(z^{2} -1) = ... \end{eqnarray*}$

09.12.2010, 11:29

Lisa1391

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Den wollte ich gerade verbessern, deshalb hab ichs editiert ;-) Danke!

09.12.2010, 11:38

Lisa1391

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$\begin{eqnarray*} ... = (z-1) (z+2i)² (z+2i)² (z-1i)² (z+1i)² \end{eqnarray*}$
Demnach sind die Nullstellen dann: $\begin{eqnarray*} 1, -2i, -2i, 1i, -1i, -1; -2 \end{eqnarray*}$

oder?

09.12.2010, 20:17

wisili

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Nein, so:

$\begin{eqnarray*} ... = (z-1) (z+2) (z-2) (z-1) (z+1) \end{eqnarray*}$

Demnach sind die Nullstellen: 1, -1, 2, -2

10.12.2010, 09:13

Lisa1391

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Okay dankeschön!

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