Trigonometrie Funktionen

09.12.2010, 15:40

Broly

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Trigonometrie Funktionen

Hallo,
habe mal ein paar Fragen zu folgenden Aufgaben.

1) Bestimmen sie die Lösungsmenge der folgenden Gleichung in der Grundmenge R.

$\begin{eqnarray*} cos(3x - \frac{\pi}{2}) = 0 \end{eqnarray*}$

Ich weiß das $\begin{eqnarray*} cos(\frac{\pi}{2}) \end{eqnarray*}$ 0 ist. Somit würde ich das abändern zu

$\begin{eqnarray*} cos(3x) = 0 \end{eqnarray*}$

aber wie bekomme ich jetzt die Lösungsmenge? Weil ichs weiß könnte ich x = 30 sagen weil es dann 90 wären und Cosiunus 90 = 0 ist und wir dann 0 = 0 hätten.
Aber da muss es doch sicherlich nen Lösungsweg geben ?^^

2) Gegeben sei die Funktion

$\begin{eqnarray*} f(x) = 2sin(x - \frac{\pi}{6}) \end{eqnarray*}$

Tragen Sie die Punkte $\begin{eqnarray*} (0; f(0)), (\frac{\pi}{6},f(\frac{\pi}{6})),(\frac{2\pi}{2},f(\frac{2\pi}{3})),(\pi;f(\pi)),(\frac{4\pi}{3},f(\frac{4\pi}{3})) und (2\pi;f(2\pi)) \end{eqnarray*}$ in eine Wertetabelle
ein und zeichnen Sie mithilfe der Punkte den Graphen der Funktion f im Intervall $\begin{eqnarray*} [0;2\pi] \end{eqnarray*}$

Verstehe hier das mit dem Punkte einsetzen nicht! Hätte das erst so gedacht, z.B für den 1. Punkt ( 0 )

$\begin{eqnarray*} f(0) = 2sin(0 - \frac{\pi}{6}) \end{eqnarray*}$

sofern das richtig ist mach ich mal ne wertetabelle^^(Anhang!)

nur wie ist das mit dem zeichnen von 0 bis 2pi gemeint ?

3)

Es sei cos (a) = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ für einen Winkel $\begin{eqnarray*} \alpha \in [0°; 90°] \end{eqnarray*}$ . Bestimmen Sie sin(a) und tan(a) explizit, d.h. das Ergebnis ist nur mit Brüchen und Wurzeln anzugeben (keine Dezimalzahlen).
Hinweis: Verwenden Sie die Formel sin^2(a) + cos^2(a) = 1.

Zum Verständnis. Alpha ist i.was zwischen 0 und 90 Grad und die cosinusfunktion des Winkels ergibt 1/3 ?

Wenn ichs richtig verstehe wüsste ich durch raten, das alpha zirka 20° ist.
sin(20°) = 0,34 also zirka 1/3.
tan(20°) wäre 0,36.
und wenn ich das unten in die Formel zum "testen" einsetze, bekomme ich:
sin^2(20) + cos^2(20) = 1
0,116+0,883 = 0,999

Aber auch hier zu muss es doch bestimmt i.einen Rechenweg geben? Wenns überhaupt richtig ist ^^ .

4) Gegeben sei ein gleichschenkliges Dreieck, dessen gleichlange Seiten, mit der Seitenlänge 6 cm, einen Winkel von 80° einschließen. Berechnen Sie die Länge der dritten Seite, die drei Höhen im Dreieck und den Flächeninhalt.

Hab noch ne Zeichnung angehangen so wie ich das verstehe.

So Tan(a) ist ja GK/AK . Ich möchte die GK haben kann ich das dann einfach umstellen nach tan(a) * AK = GK ?
tan(80) * 6 = GK;
5,67 * 6 = 34,02 . Finde ich arg lang =( ?

So höhen und Flächeninhalt versuche ich später zu berechnen sofernd as hier richtig ist.

Grüße

09.12.2010, 18:05

Broly

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Mag mir keiner helfen?

09.12.2010, 18:07

Math²

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bei der 1)
kannst du das cos rüberziehen in dem du cos-1 rechnest
bei der 2) sollst du eine zeichnung von 0 bis 2PI anfertigen
soweit ich das verstehe

09.12.2010, 18:14

Math²

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bei der 4) kannst du nicht tangens anwenden da es kein rechtwinkliges dreieck ist
allerdings sind 2 der hs gleich und die kannst du berechnen wenn du dir die dreiecke bastelst
aber du musst dran denken das bei einem gleichschenkligem dreieck zwei winkel immer die gleichen sind

09.12.2010, 18:24

Math²

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siehst die die kleine strecke bei der unteren 6
die kannst du ebenfalls ausrechnen
und die von 6 abzeihen dann kannst du auch noch die letzte höhe und die letzte seite berechnen
3) siehe 1

09.12.2010, 18:42

Broly

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1)

Meinst du $\begin{eqnarray*} cos^-1 \end{eqnarray*}$ ? Ich verstehs nicht ^^

Hätte ich dann cos(0) = 3x ?

2)
Ja eben das verstehe ich nicht, wie zeichne ich von 0 - 2pi ^^

3)
...

4)

Das geht leider alles viel zu schnell für mich! Verstehe kein wort ^^

Ich muss mir erst die Höhen berechnen um dann die Seite zu berechnen ?

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09.12.2010, 18:48

baphomet

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RE: Trigonometrie Funktionen
1.

Wir wissen für welche Terme der Kosinus den Wert 0 annimmt, deshalb betrachten
wir jetzt nur noch den Ausdruck in der Klammer.
$\begin{eqnarray*} \cos(3x - \frac{\pi}{2}) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3x-\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}\pm k\pi<br /> 3x=\pi\pm k\pi<br /> x=\frac{\pi\pm k\pi}{ 3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$

2. Wertetabelle machen und dann einfach zeichnen(im Intervall $\begin{eqnarray*} 0-2\pi \end{eqnarray*}$ )

4. Mithilfe des Sinussatzes/Kosinussatzes gelangst du zum Ziel, deine Lösung und
dein Ergebnis ist falsch. Es handelt sich nicht um ein rechtwinkliges Dreieck und
damit gibts auch keine Ankathete, Gegenkathete und Hypotenuse:

$\begin{eqnarray*} a=b=6 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \alpha=\beta=50°<br /> \gamma=80° \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c^2=a^2+b^2-2ab\cdot \cos\gamma<br /> c^2=72-36\cdot\cos 80 \end{eqnarray*}$

09.12.2010, 18:53

Math²

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bei 1
das steht cos(3x)=0
jetz ziehst du cos rüber
als cos-1(0)=3x
2)du hast doch eine wertetabelle gezeichnet
hab die zwar nict kontrolliert aber wenn die werte richtig sind zeichne doch die punkte ein und verbinde sie
4) siehst du ganz links das rechtwinklige dreieck
da ganz du mit sinus die höhe errechnen und die entspricht der einen weil da dasselbe dreieck existiert
nun gleichschenkliges dreieck
alpha - 2beta
da die winkel die gleichen sein müssen

siehst du die kleine strecke bei der unteren 6
die kannst du ebenfalls ausrechnen (mithilfe von pythagoras)
da du die höhe und die andere seite kennst
nun kannst du die seite von sechs abziehen und hast das andere stück
da du den winkel und eine seite in dem rechten rechtw. dreieck hast kannst du die höhe mit tangens errechnen
nun kannst du erneut pythagoras anwenden um die letzte seite zubekommen
und A müsstest du dann aus den werten errechnen

09.12.2010, 18:55

Math²

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hab jetzt gar nicht an den cossatz gedacht
wenn ihr den kosinussatz schon hattet kannst du den auch anwenden

09.12.2010, 18:59

baphomet

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Ja, Sinussatz ist einfacher als der Kosinussatz.

09.12.2010, 19:00

Math²

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@baphomet
kann es sein dass deine 1 nicht zutrifft
da bei mir dann nicht 0 rauskommt

09.12.2010, 19:02

baphomet

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Sollte nicht der Fall sein, zeig mal bitte ein Beispiel

09.12.2010, 19:05

Math²

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allerdings glaub ich nit dass du die pi/2 missachten darfst
ich hätte das anderst gerechnet

also

3x-pi/2=cos-1(0)
3x=90+pi/2
x=30,52
dann passt das ergebnis auch
aufgrund des runden nicht ganz

09.12.2010, 19:06

Math²

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@baphomet
wenn man für x pi/3 einsetzt kommt bei mir 0,9996 raus

EDIT:kann auch sein dass ich die aufgabenstellung falsch aufgenommen hab

09.12.2010, 19:10

baphomet

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Hast du bei deinem Taschenrechner denn auch das Bogenmaß benutzt, wenn du
freilich Gradmaß benutzt kommt sowas bei raus.

09.12.2010, 20:55

Broly

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Jetzt bin ich ganz verwirrt xD

Also zu 1)

warum ist $\begin{eqnarray*} x = \frac{\pi}{3} = 0 \end{eqnarray*}$
ist das nicht 60 ? ^^
und kmod2=1, soll das k modulo 1 sein oder was?^^

2)
Das ist das Problem ich habe Keine AHNUNG wie ich das zeichnen bzw verbinden soll.
Was bedeutet denn das 2pi und wie stelle ich das im Koordinatenkreuz da?
Kann jetzt die x-achse von mir aus von -3 bis +3 zeichnen aber wie groß zeichne ich die y-achse(denke das ist dann das mit pi ?^^)

4.)

Da hätte ich dann für C²=65,75 also C = 8,108cm
für die Höhen 5,9cm und 4,59cm und die Fläche A = 17,7cm²

09.12.2010, 21:01

baphomet

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Broly wir rechnen hier nicht im Gradmaß sondern im Bogenmaß, da haben deine
Angaben nichts zu suchen.

Ja das mod heißt modulo, denn du sllst ja die Lösungsmenge angeben und das
gelingt dir nur damit.

Bei Aufgabe 2 weißt du ja das der Sinus/Kosinus nur Werte zwsichen +- 1
annhehmen kann, dann gibt es ein Hilfsmittel mit dem man sowas zeichnet.
Die Parabel, dort kannst du PI und so entlang der x-Achse festlegen oder
trägst es per Lineal ab.

Zur 4. Aufgabe, dein c stimmt schon mal

09.12.2010, 21:35

Broly

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Hmm ok kein Gradmaß.

Du hast für 1 noch mal editiert, also war das falsch, bzw wäre auch mein fehler gewesen, wir sollen die Lösung in der Reelen Grundmenge angeben, habe ich vergessen zu zu schreiben =( sorry.

Die Lösungsmenge wäre quasi:
$\begin{eqnarray*} \cos(3(\frac{\pi \pm k\pi}{3}) - \frac{\pi}{2}) = 0 \end{eqnarray*}$

wobei k eine x-beliebige Zahl aus dem Bereich N ist.

$\begin{eqnarray*} 3x-\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}\pm k\pi<br /> 3x=\pi\pm k\pi<br /> x=\frac{\pi\pm k\pi}{ 3} \end{eqnarray*}$

hier verstehe ich nicht wieso :
[latex]3x-\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}\pm k\pi[\latex]
wie kommst du auf die rechte Seite?

2)
Warum kann er nur Werte zwischen 2 und 1 annehmen? Habe auch +-1,73 raus.
Hab keine Parabel^^.

3)

4)
C stimmt und der Rest ist falsch? Oder nicht nach geguckt?
Weil bin der Meinung das ist richtig ^^ bei mir würde es zumindestens auch zeichnerisch so hinkommen.

Grüße

Sorry wenn ich mich n bisschen dumm anstelle.
Das wäre mein Koord ^^

09.12.2010, 22:41

Broly

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Jede Geduld mit mir verloren ? Big Laugh

Big Laugh

unglücklich

09.12.2010, 22:45

baphomet

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HI

Brody,

Bist du immer noch nicht weiter. Da gebe ich dir schon Lösungen und du
bekommst es hin immer noch verkehrt hinzuschreiben.

Ich frage mich was du die ganze Zeit machst, denn du kommst keinen Schritt
weiter.

Was weißt du überhaupt über den Kosinus?

09.12.2010, 22:46

corvus

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Zitat:

Original von Broly
Jede Geduld mit mir verloren ? Big Laugh

Big Laugh

unglücklich

Trigonometrische Funktion

................................................. Teufel

Teufel

.

09.12.2010, 23:02

Broly

Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig bin immer noch nicht weiter, weil ich es einfach nicht verstehe! unglücklich

unglücklich

Ich weiß gar nix über den Kosinussatz ich weiß nicht was das ist und verstehe den sinn davon nicht! Gleiches mit Grad- und Bogenmaß!

Lösung ist einfach nur:
$\begin{eqnarray*} x=\frac{\pi\pm k\pi}{ 3} \end{eqnarray*}$
für K kann eine beliebige Zahl eingesetzt werden.
oder was? Ergibt bei mir allerdings nie 0 ^^

09.12.2010, 23:19

Math²

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wenn du die einen kreis vorstellst ist das bogenmaß ein teil des umfanges
du kannst die aufgabe auch über gradzahl lösen wie ich das mal gemacht habe
aber das ist abhängig davon was ihr benötigt, hat euch das euer lehrer evt gesagt
weißt du ob ihr gradzahl oder bogenmaß ausrechnen sollt
die nummer 4 kannst du ebenfalls über meinen viel längeren weg lösen
weil das hattet ihr ja alles im gegensatz zum kosinussatz (vermute ich)
aber der weg ist viel länger

09.12.2010, 23:28

Broly

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist egal womit ich das mache.

Hmm das Bogenmaß ist ein Ausschnitt aus einem Kreis(360°^^) was macht das fürn Unterschied? Bleibt doch der Gleiche Winkel dann oder nicht?

Naja egal, das hilft mir trotzdem nicht die Aufgaben zu lösen. Die 4. wenigstens richtig?

09.12.2010, 23:29

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

@baphomet

Nur ein kleiner formaler Hinweis: Das mit dem $\begin{eqnarray*} \pi \pm k\pi \end{eqnarray*}$ kann man auch durch ein einfaches $\begin{eqnarray*} \pi + k\pi \end{eqnarray*}$ beschreiben, wenn man im Gegenzug den Bereich für $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ auf alle ganzen Zahlen ausweitet, also $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ .

Das ist zum einen üblicher und vermeidet (zumindest hier) die manchmal auftretenden Missverständnisse, wenn man mit diesem $\begin{eqnarray*} \pm \end{eqnarray*}$ dann weiterrechnen will und diese womöglich dann mehrfach in einer Formel auftreten... Big Laugh

Big Laugh

09.12.2010, 23:33

Math²

Auf diesen Beitrag antworten »

das ist ein großer unterschied weil wenn der cosinus eines winkels oder der cosinus einer strecke genommen wird so hat man automatisch ein anderes ergebnis
einmal gibt cosinus aus einem 0 das andere mal außer einer strecke
zu 2) stimmen dein werte überhaupt ich bekommen andere ergebnissse

09.12.2010, 23:38

Broly

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Verstehe wieder weder den einen noch den anderen Big Laugh

Big Laugh

grml.

Naja kann ich mir denken das du bei 2 was anderes raus hast. Ich kanns ja auch nicht.
Als Beispiel für (0,f(0)) habe ich gemacht

f(0) = 2sin(0 - pi/6) ;

pi ist für mich 180 ° ^^ aber das wäre ja falsch weil wir im Bogenmaß rechnen?^^

hab das aber alles im Gradmaß gerechnet - weil wie gesagt den unterschied versteh ich nicht.
180 /6 = 30 ;
sin(30) = 0,5
0,5*2 = 1 ;
bzw weil da ja n - vor ist
-1;

Grüße

10.12.2010, 00:07

baphomet

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Broly jetzt fangen wir an dir beizubringen, was das Bogenmaß ist.

Stelle dir einen Kreis mit dem Radius 1 vor. Wir nehmen an das wir den Winkel von
10° Gradmaß einschlagen und zeichnen, diese Gerade schneidet den Kreis, somit haben
wir eine bestimmte Bogenlänge des Kreises die im Verhältnis zum Winkel steht.
Dieses Bogenmaß wird auch zumeist bei den trigonometrischen Funktionen genutzt.

Falls immer noch Fragen sind dann bitte Wikipedia mal lesen oder Mathebuch wälzen.

10.12.2010, 00:22

Broly

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Okay, jetzt kann ich mir das bildlich vorstellen^^. Wäre der Radius beispielsweise 2 dann wäre dementsprechend auch der Bogen größer.

Allerdings verstehe ich den genauen Zusammenhang nicht ^^

1

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