lineare Abbildung Isomorphismus Dimension

09.12.2010, 17:23

darstellungsmatrix

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lineare Abbildung Isomorphismus Dimension

Also Hallo erst einmal......habe gehört das Matheboard sei ein guter Ratgeber....also bin ich nun auch einmal hier und zwar mit folgendem Problem: Ich studiere Mathe ....habe Hausaufgaben zu erledigen und komme gerade im Stoff der Linearen Algebra nicht hinterher....muss die Hausaufgaben aber dennoch lösen.....deshalb wären effiziente Tipps nicht schlecht:

$\begin{eqnarray*} \phi : V -> W \end{eqnarray*}$ ist eine lineare Abbildung mit V endlich dimensional.
Ich soll zeigen:
a)
$\begin{eqnarray*} im \phi \end{eqnarray*}$ ist endlich dimensional und dass $\begin{eqnarray*} dim \left(im \phi\right) \leq dimV \end{eqnarray*}$ .
b) S ist ein Komplement zu $\begin{eqnarray*} ker\phi \end{eqnarray*}$ .
Man soll zeigen, dass die Abbildung $\begin{eqnarray*} \psi : S->im\phi, v\Rightarrow \psi\left(v\right) \end{eqnarray*}$ ein Isomorphismus von Vektorräume ist.
Und man soll folgern , dass $\begin{eqnarray*} dimV = dim\left(ker\phi\right) +dim\left(im\phi\right) \end{eqnarray*}$ .....
Da ich im Moment keinerlei genaues wissen habe ......schwierig zu lösen....hoffe auf Tipps!

09.12.2010, 18:55

darstellungsmatrix

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hmmm.....hilft die Dimensionsformel weiter?

09.12.2010, 18:59

tmo

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Die Dimensionsformel sollst du doch folgern. Ich glaube also kaum, dass du hier anwenden darfst.

Zur a) Betrachte eine Basis vom Bild und konstruiere aus ihr eine gleichmächtige linear unabhängige Menge in V. Daraus folgt direkt die Behauptung.

09.12.2010, 19:11

darstellungsmatrix

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hmmm....das Problem ist diese aufgabe ist so allgemein dass ich nicht weiß wie ich vorgehen soll:
Also kann ich zum Beispiel sagen. Es sei V eine Menge mit der Basis $\begin{eqnarray*} B_{1} = \left(v_{1}, v_{2}, ...,v_{n}\right) \end{eqnarray*}$ und W eine Menge mit der Basis $\begin{eqnarray*} B_{2} = \left(w_{1}, w_{2}, ...,w_{n}\right) \end{eqnarray*}$ ...( oder ein Vektorraum statt Menge , da es sich ja um eine lineare Abbildung handelt die immer zwischen 2 Vektorräumen vorliegt)

Bringt mir dieser Anfang schon einmal etwas?? mit
$\begin{eqnarray*} dimV =n \end{eqnarray*}$ ?
B_2 wäre ja dann meine Menge der Bildbasis......

09.12.2010, 19:46

darstellungsmatrix

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Beringen mir Darstellungsmatrizen etwas?

09.12.2010, 20:38

darstellungsmatrix

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Hmmm......sollte ich mehr Ansätze bringen für Hilfe.....ich weiß aber echt nicht weiter...

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10.12.2010, 06:49

tmo

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Zitat:

Original von darstellungsmatrix
Also kann ich zum Beispiel sagen. Es sei V eine Menge mit der Basis $\begin{eqnarray*} B_{1} = \left(v_{1}, v_{2}, ...,v_{n}\right) \end{eqnarray*}$ und W eine Menge mit der Basis $\begin{eqnarray*} B_{2} = \left(w_{1}, w_{2}, ...,w_{n}\right) \end{eqnarray*}$

Der Ansatz scheitert sofort, da du einfach $\begin{eqnarray*} \dim V = \dim W \end{eqnarray*}$ annimmst.

Ich hab doch gesagt, dass du eine Basis des Bildes, also $\begin{eqnarray*} \operatorname{Im}(\varphi) \end{eqnarray*}$ nehmen sollst.

Und dann zeigst du, dass die zugehörigen Urbildvektoren linear unabhängig sind.

10.12.2010, 16:52

darstellungsmatrix

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Ok ich schreibe meine Beweisfassung nun einmal auf und würde gerne wissen ob die taugt..:

Es ist also $\begin{eqnarray*} B_{1} =\left (v_{1},...,v_{n}\right) \end{eqnarray*}$ eine Basis von V und somit dim V=n

Dann ist im $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ = span $\begin{eqnarray*} \left(\phi(v_1), ..., \phi(v_n)\right) \end{eqnarray*}$

und es ist dim (span $\begin{eqnarray*} (\phi\left(v_1\right), ..., \phi\left(v_n\right))) \le \end{eqnarray*}$ n = dim V.

Stimmt das für die ganze Teilaufgabe??

10.12.2010, 17:09

darstellungsmatrix

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vllt zu kurz oder ist dies der beweis nur formal die aufgabenstellung??

10.12.2010, 19:10

turbojunge

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Also, das stimmt auf jeden Fall so!

Aber ob das zu kurz ist oder nicht, hängt davon ab, ob Du selber jeden Deiner Folgerungsschritte verstanden hast...

11.12.2010, 10:38

darstellungsmatrix

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Ja......alles klar bei der a......jetzt brächte ich nur noch tipps für die b....

11.12.2010, 12:28

darstellungsmatrix

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Kann es ein dass das Bild der Abbildung das Komplement zum Kern ist? verwirrt

verwirrt

verwirrt

11.12.2010, 15:58

Math1986

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Zitat:

Original von darstellungsmatrix
Kann es ein dass das Bild der Abbildung das Komplement zum Kern ist? verwirrt

verwirrt

verwirrt

Das Bild ist in W und der Kern ist in V, da kannst du nicht von eimem Komplement sprechen

Woran scheitert die b) denn bei dir?

12.12.2010, 10:51

darstellungsmatrix

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Nun ja.....wenn ich ehrlich bin versteh ich bereits das gegebene vom Sinn her nicht und was ein Isomorphismus ist......ich habe mir auch schon überlegt wenn das Komplement gemeint ist ist ja maximal der Nullvektor Element der Schnittmenge ,,...das ich den kern abbilde auf das Komplement vom Bild....und das wäre das Urbild??
ich brauche erklärungen für das Verständnis der aufgabe.... Augenzwinkern

Augenzwinkern

15.12.2010, 20:51

_-Alex-_

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Wie kann ich denn bei der a) eine Basis des Bildes nehmen, wenn ich zeigen soll, dass das Bild endlich dimensional ist. Muss ich dann nicht auch noch etwas über dann Fall sagen, dass das Bild nicht endlich dimensional ist, und das dann irgendwie zu einem Widerspruch führen?

EDIT: Also mir fehlt irgendwie immer der Punkt, dass ich ja nicht weiß, dass meine Abbildung injektiv ist :/

15.12.2010, 23:06

_-Alex-_

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Also ich finde keine gute Begründungen, weshalb bei der b) die Abbildung ein Isomorphismus ist.

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