Stetigkeit einer Funktion

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09.12.2010, 17:24	laramo	Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit einer Funktion Meine Frage: hey hab ne kurze Frage: Die Aufgabe lautet: $\begin{eqnarray} f(x) : = \frac{x^5 - x^4 - 5x^3 + x^2 + 8x + 4}{(x-2)^3} \end{eqnarray}$ Ich soll zeigen ob die Funktion an der Stelle 2 stetig fortsetzbar ist. Meine Ideen: hab jetzt 2mal die Polynomdivision durchgeführt: 1.) $\begin{eqnarray} (x^5 - x^4 - 5x^3 + x^2 + 8x + 4) : (x-2) = x^4 + x^3 - 3x^2 - 5x -2 \end{eqnarray}$ 2.) $\begin{eqnarray} (x^4 + x^3 - 3x^2 - 5x -2) : (x-2) = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 \end{eqnarray}$ also hab ich am ende: $\begin{eqnarray} f(x) = \frac{(x-2)(x-2)(x^3 + 3x^2 + 3x + 1)}{(x-2)} \end{eqnarray}$ kürzt sich ja das unterm bruchstrich mit einem der (x-2) vom über dem bruchstrich weg.. muss ich dann $\begin{eqnarray} (x-2)(x^3 + 3x^2 + 3x + 1) \end{eqnarray}$ wieder ausmultiplizieren und dann $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 2} f(x) \end{eqnarray}$ betrachten oder wie ist jetzt der letzte schritt? weil mir hat jmd. gesagt, dass die funktion nicht stetig fortsetzbar sei.. nach meinem verständnis ist sie es aber.. könnt ihr licht ins dunkel bringen?
09.12.2010, 17:26	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Eventuell hat es mit der fehlenden dritten Potenz im Nenner zu tun
09.12.2010, 17:33	laramo	Auf diesen Beitrag antworten »
naja.. ich dachte durch die polynomdivision schreib ich das denn im nenner.. und.. hm.. wenn ich jetz nämlich das ganze nochmal durch $\begin{eqnarray} (x-2) \end{eqnarray}$ teile würde ja ein rest über bleiben?!
09.12.2010, 17:37	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir sind uns einig, dass der Nenner das untere ist? Da steht am Anfang bei dir $\begin{eqnarray} (x-2)^3 \end{eqnarray}$ am Ende aber nur noch $\begin{eqnarray} (x-2) \end{eqnarray}$ . Du betrachtest also am Ende eine andere Funktion als am Anfang und das kann natürlich nicht funktionieren.
09.12.2010, 17:45	laramo	Auf diesen Beitrag antworten »
ja ich mein natürlich, dass ich das denn im zähler geschrieben hab.. nja.. dann hab ich also $\begin{eqnarray} f(x) = \frac{(x-2)(x-2)(x^3 + 3x^2 + 3x + 1)}{(x-2)^3} \end{eqnarray}$ denn kürzt sich über und unterm bruchstrich was weg.. $\begin{eqnarray} f(x) = \frac{(x^3 + 3x^2 + 3x + 1)}{(x-2)} \end{eqnarray}$ was nun? nochmal polynomdivision bringt mich wie gesagt auf einen rest.. aber mein analysis tutor hat das so gemacht wie ich das anfangs hatte.. ich bin jetz ein bisschen verwirrt.. :S
09.12.2010, 17:51	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun musst Du schauen, wie sich der Zähler für x->2 verhält. Der Nenner strebt ja offensichtlich immer noch gegen 0.
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09.12.2010, 18:08	laramo	Auf diesen Beitrag antworten »
hm.. dann strebt der zähler gegen 27 und der nenner ja gegen 0.. und weil es nicht gleich ist, hab ich somit keinen grenzwert? und die funktion ist somit auch nicht stetig fortsetzbar an der stelle 2? denn hab ich noch ne frage zu ner anderen aufgabe prinzipiell ähnlich: $\begin{eqnarray} g(x) : = \frac{(x^5 - x^4 - 5x^3 + x^2 + 8x +4) (-x - 3x^2 + 2)}{(x-2)^2 (x+1)^2} \end{eqnarray}$ die soll ich jetz an den stellen 2 und -1 auf stetigkeit überprüfen.. ich hab die beiden geteilt betrachtet und für den ersten teil $\begin{eqnarray} \frac{(x^5 - x^4 - 5x^3 + x^2 + 8x +4)}{(x-2)^2} \end{eqnarray}$ durch polynomdivision seh ich denn $\begin{eqnarray} \frac{x^4 + x^3 - 3x^2 - 5x -2} {(x-2)} \end{eqnarray}$ der teil hat also den grenzwert von 0 und der teil kann somit an der stelle 2 stetig fortgesetzt werden... beim zweiten teil wäre es dann nach der polynomdivision: $\begin{eqnarray} \frac { -3x+2}{x+1} \end{eqnarray}$ in der stelle -1 wäre dann der nennerzwar gegen null aber der zähler nich.. heißt das nun die gesamte funktion ist nicht stetig fortsetzbar oder nur in -1 nicht oder wie muss ich das sehen?
09.12.2010, 18:38	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Entscheidend ist nicht, dass der Zähler und Nenner unterschiedliche Werte haben, sondern dass der Quotient (wegen dem Nenner) betragsmässig immer größer wird, also gegen unndlich strebt und damt natürlich nicht durch eine Zahl ersetzt werden kann. Bei deinem zweiten Beispiel wäre die Polynomdivision fortzusetzen, bis entweder der Zähler oder der Nenner nicht mehr gegen 0 strebt. Erst dann siehst Du, ob sich ein endlicher Wert ergibt oder nicht. Die Funktion ist im Fall "unendlich" an dieser Stelle nicht fortsetzbar, im endlichen Fall aber schon.
09.12.2010, 18:46	laramo	Auf diesen Beitrag antworten »
aber die polynomdivision ist doch nicht fortsetzbar.. da bleibt ja ein rest zumindest beim 2. teil.. beim ersten teil kann man ja in der aufgabe drüber das ablesen.. also $\begin{eqnarray} x^3 + 3x^2 - 5x -2 \end{eqnarray}$ und nun? kannst du mir nicht zeigen mit der aufgabe, was du genau meinst bitte?
09.12.2010, 18:53	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Muss leider gleich mal für ne Stunde weg, daher nur eine kurze Antwort: Im ersten Teil hebt sich dann alles raus, wie bei der Aufgabe oben - da hast Du recht. Übrig bleibt $\begin{eqnarray} x^3+3x^2-5x-2 \end{eqnarray}$ und das ist für x=2 gerade 8. Mit diesem Wert lässt sich die Funktion an der Stelle x=2 fortsetzen. Für x=-1 erhälts Du als Restterm $\begin{eqnarray} \frac{-3x+2}{x+1} \end{eqnarray}$ . Der Zähler strebt also gegen 5, der Nenner gegen 0 und somit der Quotient gegen unendlich. Eine Fortsetzung an dieser Stelle ist also nicht möglich.
09.12.2010, 18:56	laramo	Auf diesen Beitrag antworten »
und somit ist die funktion zwar an der stelle 2 stetig fortsetzbar aber an der -1 nicht?
09.12.2010, 21:43	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Hatte ich doch im Vorposting schon gesagt
09.12.2010, 22:16	laramo	Auf diesen Beitrag antworten »
ich wollt's ja nur nochma für mich verdeutlichen und die bestätigung haben und das ist wirklich die einzige lösung? ich hab nämlich mich jetz noch mal ein bisschen in meiner umgebung umgehört und bisher haben alle gesagt, dass g(x) stetig sei in beiden stellen.. :S
09.12.2010, 22:20	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab deine Polynomdivision jetzt nicht kontrolliert, aber wenn da kein Fehler ist, dann ist die Funktion bei -1 definitiv nicht stetig fortsetzbar.
09.12.2010, 22:29	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
OK, nachgerechnet und deinen Fehler gefunden. Du hast die beiden Terme separat betrachtet. Da es sich aber um ein Produkt handelt, kann evt. bei beiden Termen gekürzt werden. Wenn Du den ersten vollständig zerlegst erhältst Du $\begin{eqnarray} (x-2)^2(x+1)^3 \end{eqnarray}$ . Der zweite Term ist $\begin{eqnarray} (x+1)(-3x+2) \end{eqnarray}$ . Der Nenner ist demnach auch für x=-1 vollständig kürzbar und somit kann die Funktion auch dort stetig fortgesetzt werden.
09.12.2010, 22:31	laramo	Auf diesen Beitrag antworten »
naja weil was ich bisher gesehn hab, ham die den ersten teil denn noch mit dem 2. multipliziert.. damit konnte man den nenner denn wegkürzen und kam auf ne funktion mit dem grad 3.. also sah ungefärh so aus: $\begin{eqnarray} g(x) = (x^3 + 3x^2 + 3x + 1) (\frac {-3x^2 - x + 2} {(x+1)^2} ) <br /> g(x) = (x+1)^3 (\frac {-3x^2 - x + 2} {(x+1)^2} ) <br /> g(x) = -3x^3 - 4x^2 + x + 2 \end{eqnarray}$ und wenn ich da jetz den limes betrachte.. bekomm ich bei x=2 nen grenzwert von -36 und bei der stelle x=-1 nen grenzwert von 0 und durch die existenz der grenzwerte ist ja auch gezeigt, dass die funktion also an beiden stellen stetig fortsetzbar ist oder nich? :S
09.12.2010, 22:38	laramo	Auf diesen Beitrag antworten »
oke prima.. war schon kurzzeitig verwirrt wem ich jetz eher glauben schenken soll aber vielen dank für die hilfe! schön abend dir noch!

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