Linksnebenklasse Mächtigkeit

19.11.2006, 11:53	Dr. Logik	Auf diesen Beitrag antworten »
Linksnebenklasse Mächtigkeit Hallo. Habe mal wieder ein Problem . Aufgabe: "Von nun an sei A eine endliche Gruppe. Zeigen Sie, dass für alle $\begin{eqnarray} a_1,a_2 \in A \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} \left\| a_1 \ast B \right\|=\left\| a_2 \ast B \right\| \end{eqnarray}$ ." B wurde zuvor als Untergruppe von A definiert und $\begin{eqnarray} a \ast B:=\{a \ast b \vert b \in B \} \end{eqnarray}$ als Linksnebenklasse von $\begin{eqnarray} a \in A \end{eqnarray}$ nach B. Bezeichnet $\begin{eqnarray} \left\| a_1 \ast B \right\| \end{eqnarray}$ die Mächtigkeit dieses Ausdrucks? Wenn ja, dann müsste ja eine bijektive Abbildung $\begin{eqnarray} f:a_1 \ast B \rightarrow a_2 \ast B \end{eqnarray}$ existieren. Besteht nun die Aufgabe darin zu zeigen, dass eine solche Abbildung existiert oder muss ich hier ganz anders vorgehen? Danke schon mal!
19.11.2006, 18:28	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das ist im Prinzip die Aufgabe. Gruß MSS
19.11.2006, 18:36	irre.flexiv	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja das soll die Mächtigkeit sein. Es reicht zu zeigen das es für $\begin{eqnarray} a\in A \end{eqnarray}$ eine bijektive Abb. $\begin{eqnarray} f : B \longrightarrow aB \end{eqnarray}$ gibt, denn für $\begin{eqnarray} a,a'\in A \end{eqnarray}$ folgt aus $\begin{eqnarray} \|B\| = \|aB\| \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \|B\| = \|a'B\| \end{eqnarray}$ sofort $\begin{eqnarray} \|aB\|=\|a'B\| \end{eqnarray}$ .
20.11.2006, 18:51	Dr. Logik	Auf diesen Beitrag antworten »
@ irre.flexiv: danke für den Tip. Allerdings habe ich Probleme damit, eine bijektive Abbildung zu finden! Weiß auch nicht so recht, wie ich mir das Produkt a*B vorzustellen habe, da ja hier ein Element mit einer ganzen Gruppe verknüpft wird. Kann mir dabei vielleicht nochmal jemand einen Denkanstoß geben? mfg, Dr. Logik
20.11.2006, 21:34	Dr. Logik	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Problem hat sich erübrigt. Habe einen Thread gefunden, der eine ähnliche Problemstellung behandelt und daraus eine Lösung gefunden. Wer interessiert ist: hier gibbets eine gute Erklärung von MSS, wie man hier vorgeht. Danke dafür, MMS

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