Konvergenz gegen 1/e zeigen

09.12.2010, 22:06	Kretos	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz gegen 1/e zeigen Hi Also ich muss zeigen, dass $\begin{eqnarray} a_n=\frac{\sqrt[k]{k!}}{k} \end{eqnarray}$ gegen $\begin{eqnarray} \frac{1}{e} \end{eqnarray}$ konvergiert. N Mädel ausm Tut hats gemacht, in dem sie einfach $\begin{eqnarray} \|~^{k^{2}} \end{eqnarray}$ gemacht hat, und das zu $\begin{eqnarray} (1-\frac{1}{k})^{k} \end{eqnarray}$ umgeformt hat. Aber ich komm nicht auf die Umformungen
09.12.2010, 22:18	hnky	Auf diesen Beitrag antworten »
hey, ich habs so gezeigt: $\begin{eqnarray} \frac{\sqrt[k]{k!}} {k} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\frac{\sqrt[k]{k!} }{\sqrt[k]{k^k} } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\sqrt[k]{\frac{k!}{k^k} } \end{eqnarray}$ danach kann man aufgabe 1 benutzen lg
09.12.2010, 22:50	Kretos	Auf diesen Beitrag antworten »
Haha, perfekt Jetzt hab ichs ^^ Mit Nummer 1 wars dann auch einfach.. Für alle die Nr. 1 nicht kennen : Es seien $\begin{eqnarray} a_{n}>0 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \left ( \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \right )_{n \in \mathbb N} \end{eqnarray}$ konvergent. Es bezeichne a den Grenzwert. Zeigen Sie, dass dann auch die Folge $\begin{eqnarray} (\sqrt[n]{a_{n}})_{n \in \mathbb N} \end{eqnarray}$ gegen a konvergiert. Das haben wir getan, also können wir es benutzen
11.12.2010, 13:02	sChUhBiDu	Auf diesen Beitrag antworten »
Hehe, scheinen viele Aachener hier zu sein. Ich hab bei der Aufgabe immer noch ein Problem. Wie verbinde ich den Ausdruck in der Wurzel mit $\begin{eqnarray} \left (1- \frac{1}{n}\right )^n \end{eqnarray}$ ? Wie hängt das mit $\begin{eqnarray} \frac{a_{n+1}}{a_n} \end{eqnarray}$ zusammen?
11.12.2010, 13:22	hnky	Auf diesen Beitrag antworten »
hey, da ja gestern bereits abgabeschluss war, denke ich, dass es in ordnung ist, wenn ich hier meine lösung reinstelle.(natürlich kann ich nicht für richtigkeit garantieren). Setze $\begin{eqnarray} a_n:=\frac{n!}{n^n} \end{eqnarray}$ damit erhält man dann $\begin{eqnarray} \frac{a_{n+1}}{a_n} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\frac{\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}} }{\frac{n!}{n^n} } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \frac{n^n}{n!} \end{eqnarray}$ nun kürzt sich einiges raus und man erhält: $\begin{eqnarray} \frac{(n+1)n^n}{(n+1)(n+1)^n} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\frac{n^n}{(n+1)^n} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =(\frac{n}{n+1}) ^n \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =(1-\frac{1}{n+1})^n \end{eqnarray}$ letzteres geht gegen $\begin{eqnarray} \frac{1}{e} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n->\infty \end{eqnarray*}$ . nun kann man den satz anwenden, den kretos gepostet hat. lg (aus aachen)

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