Transformation der Exponentialverteilung

09.12.2010, 22:38

sdfcvsdvfsdfs

Transformation der Exponentialverteilung

Meine Frage:
X ist Exp-Verteilt (mit $\begin{eqnarray*} \lambda > 0 \end{eqnarray*}$ )
berechne EW & Var von: $\begin{eqnarray*} i) Z_1 = e^(-X) ii) Z_2 = 2X \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:

Hier ist die ii recht einfach zu lösen:
$\begin{eqnarray*} E(Z_2) = E(2X) = 2 E(X) = 2/\lambda E((Z_2)^2) = E((2X)^2) = 4 E(X^2). 1/\lambda^2 = Var(X) = E(X^2)-E(X)^2 <=> E(X^2) = 1/\lambda^2 + E(X)^2 = 2/\lambda^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} => E((Z_2)^2) = 8/\lambda^2 Var (Z_2) = E(Z_2^2)-E(Z_2)^2 = 8/\lambda^2 - 4/\lambda^2 = 4/\lambda^2 \end{eqnarray*}$

jedoch die i bereitet mir Kopfzerbrechen.

Da man mit der Linearität des EWs hier wohl wenig nützt, rechne ich über die Verteilungsfkt die Dichte aus:

$\begin{eqnarray*} F_Z(t) = P (Exp(-x) <=t) = P (-x <=ln(t)) = 1-P (x <=-ln(t)) \end{eqnarray*}$ |F_X(t) einsetzen

$\begin{eqnarray*} = 1-[1-Exp(-\lambda * -ln(t))] = Exp(ln(t))^\lambda = t^\lambda \end{eqnarray*}$

somit ist $\begin{eqnarray*} f_z(t) = 1/lambda * t^(\lambda-1) \end{eqnarray*}$

Berechne ich aber nun den Erwartungswert mit dem vollständigen Integral
$\begin{eqnarray*} t * f_z(t) \end{eqnarray*}$ , so ist das vollst. Integral von $\begin{eqnarray*} t^\lambda \end{eqnarray*}$ zu bestimmen, aber t^\lambda wächst ja unbeschränkt ?!

09.12.2010, 23:47

Black

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Allgemein gilt für den Erwartungswert einer ZV:

$\begin{eqnarray*} E[f(X)]= \int_\Omega \! f(X) \, dP= \int_\mathbb R \! f(x) \, dP_X = \int_\mathbb R \! f(x)\cdot \varphi_X (x) \, dx \end{eqnarray*}$

Du musst nicht extra irgendwelche Dichten berechnen.

10.12.2010, 00:14

René Gruber

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Zitat:

Original von sdfcvsdvfsdfs
Da man mit der Linearität des EWs hier wohl wenig nützt, rechne ich über die Verteilungsfkt die Dichte aus:

$\begin{eqnarray*} F_Z(t) = P (Exp(-x) <=t) = P (-x <=ln(t)) = 1-P (x <=-ln(t)) \end{eqnarray*}$ |F_X(t) einsetzen

$\begin{eqnarray*} = 1-[1-Exp(-\lambda * -ln(t))] = Exp(ln(t))^\lambda = t^\lambda \end{eqnarray*}$

somit ist $\begin{eqnarray*} f_z(t) = 1/lambda * t^(\lambda-1) \end{eqnarray*}$

Berechne ich aber nun den Erwartungswert mit dem vollständigen Integral
$\begin{eqnarray*} t * f_z(t) \end{eqnarray*}$ , so ist das vollst. Integral von $\begin{eqnarray*} t^\lambda \end{eqnarray*}$ zu bestimmen, aber t^\lambda wächst ja unbeschränkt ?!

Bei deiner langen Rechnung hast du schlicht aus den Augen verloren, dass die Verteilungsfunktionsformel $\begin{eqnarray*} 1-\exp(-\lambda x) \end{eqnarray*}$ nur für $\begin{eqnarray*} x\geq 0 \end{eqnarray*}$ zutreffend ist, ansonsten ist diese Verteilungsfunktion gleich Null.
Du wendest das ganze auf $\begin{eqnarray*} x=-\ln(t) \end{eqnarray*}$ an, d.h. die Rechnung ist so wie oben nur für $\begin{eqnarray*} \ln(t)\leq 0 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} 0<t\leq 1 \end{eqnarray*}$ zutreffend. Eine Ausdehnung dieser gewonnenen Formel auf $\begin{eqnarray*} t>1 \end{eqnarray*}$ beim Integrieren ist also völliger Humbug.

10.12.2010, 00:48

sdfcvsdvfsdfs

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@Black

das f(x), das du da benutzt, ist doch die Dichtefunktion?!

Was du mit dP, dPx etc meinst verstehe ich nicht?!

@René Gruber

du hast natürlich recht, dass Integral kann ja erst bei 0 beginnen.

Da steht nicht x= -ln(t), sondern x <= -ln(t).

Wie wäre es denn nun richtig?!

10.12.2010, 07:41

René Gruber

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Zitat:

Original von sdfcvsdvfsdfs
Da steht nicht x= -ln(t), sondern x <= -ln(t).

Das kommt davon, wenn man sich nicht an die Konvention hält, Zufallsgrößen groß zu schreiben. unglücklich

Ich habe von dem $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ in

$\begin{eqnarray*} F_X(x) = P(X\leq x) = 1-\exp(-\lambda x) \end{eqnarray*}$

geredet - NICHT (!!!) von der Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ . Forum Kloppe

Selbst ohne Beachtung der Konvention hätte das durch Beachtung des Teilsatzes "dass die Verteilungsfunktionsformel $\begin{eqnarray*} 1-\exp(-\lambda x) \end{eqnarray*}$ nur für $\begin{eqnarray*} x\geq 0 \end{eqnarray*}$ zutreffend ist" klar sein müssen, dass ich das Argument statt der Zufallsgröße meine.

Und wie es "richtig" ist, habe ich bereits geschrieben, lies einfach nochmal meinen Beitrag durch: Es reicht, das Integral $\begin{eqnarray*} \int\limits_0^1 \ldots~ \dd t \end{eqnarray*}$ auszuwerten, denn außerhalb ist die Dichte $\begin{eqnarray*} f_Z(t) \end{eqnarray*}$ gleich Null.

10.12.2010, 10:47

s.o.

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wenn ich das Integral einfach auf den gültigen Bereich 0,1 einschränke, so müsste das
$\begin{eqnarray*} 1-[F_X(1)-F_x(0)] \end{eqnarray*}$ sein

da $\begin{eqnarray*} F_X = 1-e^{-\lambda * x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1-[1-e^{-\lambda * 1}]+[1-e^{-\lambda * 0}] = 1-[1-e^{-\lambda}]+[1-e^{0}] = 1-[1-e^{-\lambda}] =e^{-\lambda} \end{eqnarray*}$
damit wäre die Dichte aber 1 auf dem Intervall 0<=t<=1 und damit in den erwartungswerten und der Varianz kein \lambda mehr enthalten?!
[%sig%]

10.12.2010, 10:52

René Gruber

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Was diese Frage betrifft, habe ich von $\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$ gesprochen, nicht von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ - was du ebenfalls wieder durch gründliches Lesen des Beitrages hättest feststellen können. böse

10.12.2010, 10:55

sulo

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@René Gruber

s.o. ist nicht identisch mit sdfcvsdvfsdfs - die IPs sind vollkommen unterschiedlich.

10.12.2010, 18:21

René Gruber

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Kann schon sein, aber es tauchen hier öfter Gäste auf, die immer mal einen anderen Namen annehmen. Darüber hinaus bleibt die Tatsache, dass die Beiträge nicht gelesen wurden, egal welche Person dahinter steht.

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