Beweis durch Induktion

19.11.2006, 13:28

martha

Beweis durch Induktion

Ich muss diese aufgabe durch vollständige Induktion beweisen.
ich weis aber net wie.

Für beliebige $\begin{eqnarray*} n,k \in \end{eqnarray*}$ Natürlichen Zahlen mit $\begin{eqnarray*} k\leq \end{eqnarray*}$ gilt

$\begin{eqnarray*} \sum_{j=k}^{n}(^{j}_{k})=(^{n+1}_{k+1}) \end{eqnarray*}$

Ich weis das ich schritt weise vorgehen muss also,
Induktionanfang:

n=1
da fängt es schon an wie muss ich es denn einsetzten.

Helft mir bitte.

Martha

19.11.2006, 13:38

klarsoweit

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RE: Beiweis durch Induktion

Zitat:

Original von martha
Für beliebige $\begin{eqnarray*} n,k \in \end{eqnarray*}$ Natürlichen Zahlen mit $\begin{eqnarray*} k\leq \end{eqnarray*}$ gilt

Da vermutlich k <= n ist, ist der Induktionanfang n=k. Setze also für n das k ein und prüfe die Behauptung. Augenzwinkern

19.11.2006, 15:13

martha

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achso ok dann heist es

IA: $\begin{eqnarray*} n=k,(^{k+1}_{k+1})= 1 \end{eqnarray*}$

IS: gilt für alle n, also (n+1)

$\begin{eqnarray*} \sum_{j=k}^{n+1} (^{j}_{k})=(^{n+1}_{k+1})+(n+1) \end{eqnarray*}$

Ist das so richtig und sollte ich auch den Binomialkoeffizient beachten und wenn ja wie?

19.11.2006, 15:24

klarsoweit

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Man könnte meinen, du machst zum ersten Mal vollständige Induktion.

Zitat:

Original von martha
achso ok dann heist es

IA: $\begin{eqnarray*} n=k,(^{k+1}_{k+1})= 1 \end{eqnarray*}$

Nun ja, da fehlt aber die linke Seite der Behauptung:
$\begin{eqnarray*} \sum_{j=k}^{k} (^{j}_{k}) = ... \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von martha
$\begin{eqnarray*} \sum_{j=k}^{n+1} (^{j}_{k})=(^{n+1}_{k+1})+(n+1) \end{eqnarray*}$

Ist das so richtig

Nein. Was steht denn da, wenn du in der Behauptung alle n durch n+1 ersetzst?

Zitat:

Original von martha
und sollte ich auch den Binomialkoeffizient beachten und wenn ja wie?

Ganz gewiß, oder meinst du, der steht zum Spaß da?

19.11.2006, 15:27

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Ich will mich inhaltlich gar nicht einmischen, nur ein kleiner LaTeX-Hinweis an martha:

\binom{j}{k} ergibt einen "normal großen" Binomialkoeffizienten $\begin{eqnarray*} \binom{j}{k} \end{eqnarray*}$ , d.h., nicht so ein mickriges Schriftbild. Augenzwinkern

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