Aus Ebene und Winkel eine Gerade berechnen

09.12.2010, 23:05	gulty	Auf diesen Beitrag antworten »
Aus Ebene und Winkel eine Gerade berechnen Meine Frage: Gegeben ist der Ebene $\begin{eqnarray} \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} + \vec{r} \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix} + \vec{s} \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und berechnet werden soll eine Gerade durch einen beliebigen Punkt P, die im Winkel von 45° (oder 30°) auf der Ebenen steht. Meine Ideen: Mein Problem ist der Lösungsansatz. Aus Normalvektor der Ebene und Richtungsvektor der Geraden lässt sich ja der Winkel dazwischen bestimmen über das Skalarproduk und den cosinus. Der Normalvektor der Ebene: $\begin{eqnarray} \vec{n} = \begin{pmatrix} 31 \\ -11 \\ 6 \end{pmatrix}<br /> <br /> \cos \alpha = \frac{n \times g}{\| n \| \times \| g \| } \end{eqnarray}$ ist die Formel die ich kenne.. Jetzt müsste ich für g x,y,z einsetzen, da ich den Richtungsvektor der Geraden ja suche, für Alpha 45° und für n den Normalvektor. Leider komme ich dabei nicht weiter und ich denke auch nicht, dass dieser Lösungsansatz der einfachste/richtige ist.. Eingesetzt: $\begin{eqnarray} \cos 45 = \frac{31x - 11y +6z}{\sqrt{1118} \times \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2} } } \end{eqnarray}$ Hoffe es ist euch möglich mir zeitnah zu helfen. Es muss doch irgendwie möglich sein..
09.12.2010, 23:54	wisili	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aus Ebene und Winkel eine Gerade berechnen Es gibt unendlich viele der gesuchten Geraden (sie bilden eine Kreiskegelfläche mit Spitze P). Offenbar kannst du dir eine aussuchen, indem du eine Komponente frei wählst, z.B. x=0. Ausserdem gibt es auch jetzt noch unendlich viele g-Richtungsvektoren, da deren Länge nicht vorgeschrieben wird. Offenbar kannst du dir eine aussuchen, indem du eine Komponente frei wählst, z.B. y=1. Nun ist z durch Lösen der Gleichung zu bestimmen. (Sollte es keine Lösung geben, müssten x und y anders gewählt werden.)

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