Beweis der Gleichheit von Reihen

10.12.2010, 04:43

alex2007

Beweis der Gleichheit von Reihen

Meine Frage:
Sei $\begin{eqnarray*} q \in \mathbb R,\ | q | <1 \end{eqnarray*}$ . Ich soll zeigen, dass Folgendes gilt:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty (n+1)q^n =\left(\sum\limits_{k=0}^\infty q^k\right)^2 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Hier steh ich ehrlich gesagt auf dem Schlauch. Sicher muss man hier mit geeigneter Umformung arbeiten. Aber nen echten Ansatz habe ich hier nicht, da wäre ich für Denansätze echt dankbar.

10.12.2010, 05:16

pseudo-nym

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Hm, also wenn die Gleichung so gegeben ist, wird es wohl keine gute Idee sein die rechte Seite einfach auszurechnen.
Auf blöd würde ich vorschlagen, rechts das Cauchy-Produkt anzuwenden...

11.12.2010, 11:47

alex2007

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RE: Beweis der Gleichheit von Reihen
Also über das Cauchyprodukt:

$\begin{eqnarray*} \left(\sum\limits_{k=0}^\infty q^k\right)^2=\left(\sum\limits_{k=0}^\infty q^k\right)\left(\sum\limits_{k=0}^\infty q^k\right)=\sum\limits_{k=0}^\infty \sum\limits_{l=0}^\infty q^kq^l = \sum\limits_{n=0}^\infty\left(\sum\limits_{k+l=n} 1\right) q^n =\sum\limits_{n=0}^\infty (n+1)q^n \end{eqnarray*}$

Reicht das als Beweis?

12.12.2010, 19:45

alex2007

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RE: Beweis der Gleichheit von Reihen
Ist diese Rechnung denn so korrekt? wäre nett n Feedback zu erhalten

12.12.2010, 23:00

alex2007

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RE: Beweis der Gleichheit von Reihen
Kann mir denn keiner sagen, ob ich die Umformung der Summen hier richtig verstanden habe? ich hoffe nämlich, das habe ich.

12.12.2010, 23:21

lupus

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RE: Beweis der Gleichheit von Reihen
Hi, ich weiß es leider auch nicht so richtig, aber der Spezialfall in der Vorlesung liefert doch eher:

$\begin{eqnarray*} \left(\sum\limits_{k=0}^\infty q^k\right)^2=\left(\sum\limits_{i=0}^\infty q^i\right)\left(\sum\limits_{j=0}^\infty q^j\right)=\sum\limits_{k=0}^\infty \sum\limits_{l=0}^\infty q^lq^(k-l) = \sum\limits_{k=0}^\infty \sum\limits_{l=0}^\infty q^k = \sum\limits_{k=0}^\infty lq^k \end{eqnarray*}$

Oder sehe ich das falsch?

12.12.2010, 23:22

pseudo-nym

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Die erste und die vierte Umformung verstehe ich, das dazwischen solltest du ein bischen mehr ausführen.

@lupus: Wenn du Hilfe brauchst, mach einen neuen Thread auf.
Ansonsten darfst du dich vor weiterem posten gerne mit dem Boardprinzip vertraut machen.

12.12.2010, 23:31

lupus

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Ok, ich hab's scheinbar während der Vorlesung falsch abgeschrieben, Wikipedia hat mir nun geholfen.
Muss jetzt nur noch in Latex schreiben...

12.12.2010, 23:32

alex2007

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RE: Beweis der Gleichheit von Reihen

Zitat:

Original von alex2007

$\begin{eqnarray*} \left(\sum\limits_{k=0}^\infty q^k\right)^2=\left(\sum\limits_{k=0}^\infty q^k\right)\left(\sum\limits_{k=0}^\infty q^k\right)=\sum\limits_{k=0}^\infty \sum\limits_{l=0}^\infty q^kq^l=***= \sum\limits_{n=0}^\infty\left(\sum\limits_{k+l=n} 1\right) q^n =\sum\limits_{n=0}^\infty (n+1)q^n \end{eqnarray*}$

Ok, dann würde ich dazwischen für *** Folgendes ausführen:

$\begin{eqnarray*} =\sum\limits_{k=0}^\infty \sum\limits_{l=0}^\infty 1\cdot q^{k+l} = \end{eqnarray*}$

Ist jetzt die Umformung verständlich?

12.12.2010, 23:40

lupus

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RE: Beweis der Gleichheit von Reihen
$\begin{eqnarray*} \left(\sum\limits_{k=0}^\infty q^k\right)^2=\left(\sum\limits_{i=0}^\infty q^i\right)\left(\sum\limits_{j=0}^\infty q^j\right)=\sum\limits_{k=0}^\infty \sum\limits_{l=0}^k q^lq^{k-l} = \sum\limits_{k=0}^\infty \sum\limits_{l=0}^k q^k = \sum\limits_{k=0}^\infty ( \sum\limits_{l=1}^k + 1) q^k =\sum\limits_{k=0}^\infty (k+1)q^k \end{eqnarray*}$

@pseudo-nym: Sitze halt nur diekt an der gleichen Aufgabe smile

13.12.2010, 00:06

alex2007

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RE: Beweis der Gleichheit von Reihen

Zitat:

Original von lupus
$\begin{eqnarray*} \left(\sum\limits_{k=0}^\infty q^k\right)^2=\left(\sum\limits_{i=0}^\infty q^i\right)\left(\sum\limits_{j=0}^\infty q^j\right)=\sum\limits_{k=0}^\infty \sum\limits_{l=0}^k q^lq^{k-l} = \sum\limits_{k=0}^\infty \sum\limits_{l=0}^k q^k = \sum\limits_{k=0}^\infty ( \sum\limits_{l=1}^k + 1) q^k =\sum\limits_{k=0}^\infty (k+1)q^k \end{eqnarray*}$

@pseudo-nym: Sitze halt nur diekt an der gleichen Aufgabe smile

Ist ja genau das selbe, was ich auch gemacht habe, nur eben etwas anders. smile

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