Inhomogene Differentialgleichung lösen

10.12.2010, 09:18

Hasselpuff

Inhomogene Differentialgleichung lösen

Meine Frage:
Tag zusammen!

Es geht um folgende Gleichung die ja eigentlich sehr einfach aussieht:
$\begin{eqnarray*} \frac{d^2x}{dt^2}-3\frac{dx}{dt}+2x=0 \end{eqnarray*}$

Anfangsbedingungen x(0)=0 dx/dt(0)=0

Meine Ideen:
über das charakteristische Polynom komme ich zur gleichung:
$\begin{eqnarray*} x(t)=Ae^t+Be^{2t} \end{eqnarray*}$

Durch die anfangsbgedingungen bekomme ich aber $\begin{eqnarray*} A=B=0 \end{eqnarray*}$ was mir nicht so recht passt.

10.12.2010, 11:09

Helferlein

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RE: Inhomogene Differentialgleichung lösen

Zitat:

Original von Hasselpuff
Durch die anfangsbgedingungen bekomme ich aber $\begin{eqnarray*} A=B=0 \end{eqnarray*}$ was mir nicht so recht passt.

Wenn es aber nunmal die Lösung ist, hast Du leider keine Optionen.
Hast Du die Bedingungen denn aus irgendeinem Sachzusammenhang und vielleicht die Anfangsbedingungen falsch interpretiert?

10.12.2010, 11:13

Cel

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Was passt dir denn daran nicht?

Übrigens ist das eine homogene DGL.

10.12.2010, 13:46

Hasselpuff

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Die anfangsbedingungen sind so gegeben

Sry, hab vergessen zu schreiben das da eigentlich noch der Term -4e^t dran kommt.

Heißt dass das meine homogene Lösung der gleichung nun x(t)=0 sein soll?

finde ich irgendwie seltsam

10.12.2010, 16:28

Cel

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Edit: Weiterhin verschiebe ich deinen Beitrag ins Analysis-Forum.

Das ist auch nur für den homogenen Teil richtig. Lasse das A und B erst mal stehen und suche nach einer speziellen Lösung $\begin{eqnarray*} x_p \end{eqnarray*}$ . Dafür benötigst du einen Ansatz, den findest du zum Beispiel hier.

Bedenke: Das, was du gefunden hast, bezeichnet die allgemeine Lösung $\begin{eqnarray*} x_h \end{eqnarray*}$ der homogenen Gleichung.

$\begin{eqnarray*} x = x_h + x_p \end{eqnarray*}$ wird deine Lösung sein. Bestimme also den hinteren Teil, du hast bereits

$\begin{eqnarray*} x_h = Ae^t + Be^{2t} \end{eqnarray*}$ .

10.12.2010, 17:12

Hasselpuff

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Ich muss zugeben das ich absolut nicht verstehe wie ich mit einem Ansatz rechnen soll bei dem ich einen Bruch mit dem charakteristischen Polynom drin habe...

Nach dem was ich mir so ergoogelt habe sollte ich den Ansatz dann in die DGL einsetzen.
Sehe allerdings nicht wie ich so auf irgendwas brauchbares komme.

Für weitere hilfe wär ich dankbar ^^

10.12.2010, 17:34

Cel

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Wir suchen jetzt nur die spezielle Lösung, da müssen wir noch nichts einsetzen. In meiner verlinkten Tabelle steht direkt die spezielle Lösung.

Wie sieht deine rechte Seite aus? Sie hat die Form $\begin{eqnarray*} ae^{mt} \end{eqnarray*}$ (t ist bei dir die Veränderliche und x die gesuchte Funktion).

Was ist bei dir a und was m? Dann müssen wir noch wissen, ob m eine Nullstelle vom charakteristischem Polynom ist und wenn ja, wie oft sie als Nullstelle vorkommt. Das kannst du doch sicher beantworten, anschließend gucken wir weiter.

10.12.2010, 18:10

Hasselpuff

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a=-4 m=1 und m ist einfache NST.

Das bedeutet nun aber das P(m)=0 ist und somit würde ich laut dem Ansatz durch 0 teilen

10.12.2010, 18:43

Cel

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Fast. a ist +4 (das ist hier als rechte Seite bezeichnet), deswegen greift der Ansatz darunter. Einfache Nullstelle, deswegen musst du das charakteristische Polynom einmal ableiten, denn $\begin{eqnarray*} P^{(1)}(t) \end{eqnarray*}$ bezeichnet die erste Ableitung.

10.12.2010, 18:51

Hasselpuff

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ach das ist ne Ableitung....okay, damit ist alles klar

Vielen dank ^^

10.12.2010, 18:51

Cel

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Es wäre gut, wenn du dann auch deine Lösung reinstellen würdest. Dann haben vielleicht andere auch etwas davon. Augenzwinkern

12.12.2010, 12:39

Hasselpuff v2

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Okay, ich nehms zurück...

Also die partikuläre Lösung ist dann $\begin{eqnarray*} 4e^t \end{eqnarray*}$ (Der vorhin genannte Term stand auf der rechten seite)

Okay, damit habe ich homogene und partikuläre lösung.

Nun habe ich hier noch anfangsbedingungen x(0)=x'(0)=0

Dadurch bekomme ich B=0 und A=-4

Setze ich das nun in meine Gesamtlösung ein habe ich allerdings x(t)=0...

12.12.2010, 13:23

Helferlein

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Dann setze mal $\begin{eqnarray*} 4e^t \end{eqnarray*}$ in deine Differentialgleichung ein, ob das wirklich eine Partikulärlösung ist.

12.12.2010, 13:43

Hasselpuff

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Alles klar, hab übersehen das bei der partikulären noch n x^q dran kommt

Damit wäre die Lösung:
$\begin{eqnarray*} x(t)=4te^t+2e^{2t}-2e^t \end{eqnarray*}$

Danke euch beiden Freude

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