Frage zu Schreibweise bei Abbildungen

10.12.2010, 09:56

EinfachesProblem

Frage zu Schreibweise bei Abbildungen

Eine reelle Funktion kann man ja schreiben als:

$\begin{eqnarray*} f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, x \mapsto f(x) \end{eqnarray*}$

Worin besteht jetzt denn der Unterschied zwischen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ ? $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ wäre ja bildlich der gesamte Graph der Funktion. $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ mit dem Zusatz $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \forall x \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist dann doch äquivalent zu $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , oder? Klingt jetzt extrem simpel, aber die Motivation für meine Frage ist die folgende.

Ich möchte zeigen, dass $\begin{eqnarray*} M := \{\text{f}\ |\ \text{f reelle Fkt., D(f) = D}\} \end{eqnarray*}$ zusammen mit der Addition $\begin{eqnarray*} (f+g)(x) = f(x) + g(x) \end{eqnarray*}$ eine abelsche Gruppe bildet. Dazu zeige ich erst die Assoziativität:

$\begin{eqnarray*} (f + g) + h = f + (g + h) \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} f,g,h \in M \end{eqnarray*}$ .

So, und hier stellt sich mir halt die Frage, ob ich für $\begin{eqnarray*} (f+g) \end{eqnarray*}$ einfach $\begin{eqnarray*} (f+g)(x) \end{eqnarray*}$ und für $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ := $\begin{eqnarray*} h(x) \end{eqnarray*}$ schreiben kann. Dann hätte ich stehen:

$\begin{eqnarray*} (f + g)(x) + h(x) = f(x) + (g + h)(x) \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} f,g,h \in M \end{eqnarray*}$

Und dann folgt die Gültigkeit dieser Beziehung schon aus der Definition der obigen Addition. Daher die Frage, ob man $\begin{eqnarray*} f = f(x) \end{eqnarray*}$ schreiben kann.

10.12.2010, 10:15

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Daher die Frage, ob man schreiben kann.

Nein,d as kann man nicht.

Folgendes :

Der Bezeichner $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ bezeichnet die Funktion. Wenn Du f(x) schreibst, dann ist das die Auswertung der Funktion am Punkt x. f(x) ist also im Falle R => R eine Zahl. Sind f und g zwei Funktionen, dann gilt f = g genau dann, wenn alle Punktauswertungen übereinstimmen. Sprich, es seien $\begin{eqnarray*} f : M \to N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g : M \to N \end{eqnarray*}$ , dann gilt

$\begin{eqnarray*} f = g \Leftrightarrow \forall x \in M ~ f(x) = g(x) \end{eqnarray*}$

Und so kannst Du deinen Beweis dann auch benutzen.

10.12.2010, 10:26

EinfachesProblem

Auf diesen Beitrag antworten »

Na ja, dann ist das, was ich meinte, doch richtig? Wenn ich den Zusatz "für alle x" anhänge, dann stimmt die Funktion f doch genau mit der Punktauswertung "an allen Stellen x" überein. Also:

$\begin{eqnarray*} f \Leftrightarrow f(x)\ \text{für alle x} \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

10.12.2010, 10:46

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Aussage

$\begin{eqnarray*} f \Leftrightarrow f(x) ~ \forall x \end{eqnarray*}$

ergibt keinen Sinn. Der Äquivalenzpfeil $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ Verknüpft logische Aussagen. Logische Aussagen haben einen Wahrheitswert (wahr oder falsch). Die Funktion f ist keine logische Aussage, daher kannst Du den Äquivalenzpfeil darauf nicht anwenden. Das wäre so als würdest Du sagen

Sinus genau dann wenn sinus von x für alle x. Ergibt keinen Sinn oder?

Besser :

$\begin{eqnarray*} f + (g + h) = (f + g) + h \Leftrightarrow \forall x ~ (f + (g + h))(x) = ((f + g) + h)(x) \end{eqnarray*}$

10.12.2010, 10:58

EinfachesProblem

Auf diesen Beitrag antworten »

Verstehe, das macht Sinn. Danke.

Neue Frage »

Antworten »

Frage zu Schreibweise bei Abbildungen

Verwandte Themen