Folgengrenzwert

10.12.2010, 11:28

Analysis1

Folgengrenzwert

2 Fragen:

Ich möchte von dieser Folge den Grenzwert berechnen:

$\begin{eqnarray*} \frac{-3^{n}+2^{n}}{3^{n}+2n} \end{eqnarray*}$

Ich weiß nicht richtig, wie ich 3^n ausklammern muss. So habe ich mal gemacht:

$\begin{eqnarray*} \frac{3^{n}*(-1+\frac{2}{3}}{3^{n}*(1+\frac{2}{3}n} \end{eqnarray*}$

10.12.2010, 11:32

Iorek

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1. Meinst du $\begin{eqnarray*} \frac{-3^n+2^n}{3^n+2n} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \frac{-3^n+2^n}{3^n+2^n} \end{eqnarray*}$ ?

2. Unabhängig davon hast du falsch ausgeklammert.

10.12.2010, 11:34

Cel

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Das ist der richtige Weg, aber du hast hinten falsch ausgeklammert. Mach doch mal die Probe:

$\begin{eqnarray*} 3^n \cdot \frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 3^n}{3} \neq 2^n \end{eqnarray*}$

Siehst du, wie es richtig geht? Der Nenner ist auch falsch.

Edit: Iorek macht weiter. smile

10.12.2010, 11:53

Analysis1

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hey sry, aber ich komme nicht drauf. Kann jemand ein analoges Beispiel machen?

10.12.2010, 11:54

Iorek

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Zitat:

Original von Iorek
1. Meinst du $\begin{eqnarray*} \frac{-3^n+2^n}{3^n+2n} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \frac{-3^n+2^n}{3^n+2^n} \end{eqnarray*}$ ?

Erst einmal sollten wir das klären.

10.12.2010, 11:58

Analysis1

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Es ist schon richtig so, wie es im Eingangspost steht.

10.12.2010, 11:59

Iorek

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Gut, dann guck dir nochmal den Hinweis von Cel an, wenn du $\begin{eqnarray*} 3^n \end{eqnarray*}$ ausklammerst musst du jeden Summanden durch $\begin{eqnarray*} 3^n \end{eqnarray*}$ dividieren.

10.12.2010, 12:38

Analysis1

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Rofl... Lang hats gedauert, aber:

Ich hab es jetzt glaube ich. Es konvergiert gegen -1?

Hier die Umformung:

$\begin{eqnarray*} \frac {3^n*(-1+\frac{2^n} {3^n})} {3^n*(1+\frac{2n} {3^n})} \end{eqnarray*}$

10.12.2010, 12:54

Iorek

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Wenn du begründen kannst, wieso $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} \frac {2^n}{3^n}=0 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} \frac {2n}{3^n}=0 \end{eqnarray*}$ ist, dann stimmt das, ja.

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