Konvergenz von rekursiver Folge zeigen

10.12.2010, 14:35

Paradiesvogel

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Konvergenz von rekursiver Folge zeigen

Meine Frage:
Es sei $\begin{eqnarray*} b \in \mathbb{R}, b > 0 \end{eqnarray*}$ .
Weiterhin sei $\begin{eqnarray*} 0 < a_1 < \frac{1}{b} \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} a_{n+1}=2a_n-ba_n^2 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ .
Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n \in \mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ konvergiert mit $\begin{eqnarray*} lim_{n \rightarrow \infty} a_n = \frac{1}{b} \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Wenn ich $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ als das letzte Folgenglied sehe, dann kann ich sagen:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{b} = 2 \cdot a_{n}-b \cdot a_{n}^2 \hspace {8mm} \Leftrightarrow \hspace {8mm} \frac{1}{b}= 2 \cdot \frac{1}{b} - b \cdot \frac{1}{b^2}= \frac{1}{b} \end{eqnarray*}$
Das ist ja eine wahre Aussage, aber damit habe ich doch eigentlich nur gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} \frac{1}{b} \end{eqnarray*}$ der Grenzwert ist, aber nicht bewiesen, dass die Folge konvergiert, oder?
Es wäre echt lieb, wenn ihr mir helfen könntet!!

10.12.2010, 14:54

klarsoweit

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RE: Konvergenz von rekursiver Folge zeigen

Zitat:

Original von Paradiesvogel
Wenn ich $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ als das letzte Folgenglied sehe, dann kann ich sagen:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{b} = 2 \cdot a_{n}-b \cdot a_{n}^2 \hspace {8mm} \Leftrightarrow \hspace {8mm} \frac{1}{b}= 2 \cdot \frac{1}{b} - b \cdot \frac{1}{b^2}= \frac{1}{b} \end{eqnarray*}$

Also diese Logik erschließt sich mir nicht. Du kannst allenfalls sagen: wenn die Folge a_n gegen einen Grenzwert g konvergiert, so gilt:

$\begin{eqnarray*} g = 2g - b \cdot g^2 \end{eqnarray*}$

Daraus kannst du dann das g bestimmen. Jetzt mußt du nur noch die Konvergenz der Folge beweisen.

10.12.2010, 15:02

Paradiesvogel

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Antwort!
Wenn wir den Grenzwert g nennen, dann bekommen wir:
$\begin{eqnarray*} g= 2\cdot g - b \cdot g^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b \cdot g^2 - g = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g\cdot (g-1)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g = 0 \lor b\cdot g -1 = 0 \end{eqnarray*}$
also $\begin{eqnarray*} g=0 \lor g = \frac{1}{b} \end{eqnarray*}$

kann ich dann sagen, dass $\begin{eqnarray*} g = \frac{1}{b} \end{eqnarray*}$
weil a=0 geht ja nicht, weil oben steht $\begin{eqnarray*} 0 < a_1 < \frac{1}{b} \end{eqnarray*}$

Und wie zeige ich denn, dass die Folge konvergiert? Das ist mein größtes Problem.

10.12.2010, 15:10

klarsoweit

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RE: Antwort!

Zitat:

Original von Paradiesvogel
$\begin{eqnarray*} g\cdot (g-1)=0 \end{eqnarray*}$

Wo ist denn da das b geblieben?

Zitat:

Original von Paradiesvogel
kann ich dann sagen, dass $\begin{eqnarray*} g = \frac{1}{b} \end{eqnarray*}$
weil a=0 geht ja nicht, weil oben steht $\begin{eqnarray*} 0 < a_1 < \frac{1}{b} \end{eqnarray*}$

Ich sehe darin keine schlüssige Begründung. g=0 ist durchaus möglich, wenn es ein n gibt, für das a_n=0 ist.

Zitat:

Original von Paradiesvogel
Und wie zeige ich denn, dass die Folge konvergiert? Das ist mein größtes Problem.

Eine Beweisidee wäre der Nachweis, daß die Folge nach oben durch 1/b beschränkt ist und monoton steigt. Ich habe mir das aber jetzt nicht näher angesehen.

10.12.2010, 15:21

Paradiesvogel

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...
Joa, das b sollte eigentlich noch als Faktor vor das g in der Klammer. Das habe ich dann wohl vergessen. ^^

Ich weiß ja, dass $\begin{eqnarray*} a_{1}>0 \end{eqnarray*}$ ist. Wenn ich dann später beweise, dass die Folge monoton steigend ist, kann ich doch eigentlich davon ausgehen, dass alle an's größer als Null sind, oder?

Hast du eine Idee, wie ich in diesem Fall beweise, dass die Folge monoton steigend ist? Ich habe ja die Definition für $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ . Wenn ich jetzt auf der rechten Seite für jedes an diese Definition einsetze, ist das doch das nächste Folgenglied und wenn ich das umstellen kann ich doch evtl. zeigen, dass die Folge monoton steigend ist, oder? Funktioniert das? Darf ich das überhaup so machen?

10.12.2010, 15:28

klarsoweit

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Re: ...

Zitat:

Original von Paradiesvogel
Ich weiß ja, dass $\begin{eqnarray*} a_{1}>0 \end{eqnarray*}$ ist. Wenn ich dann später beweise, dass die Folge monoton steigend ist, kann ich doch eigentlich davon ausgehen, dass alle an's größer als Null sind, oder?

Ja.

Zitat:

Original von Paradiesvogel
Hast du eine Idee, wie ich in diesem Fall beweise, dass die Folge monoton steigend ist?

Die vollständige Induktion ist da ein recht probates Mittel.

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10.12.2010, 15:37

Paradiesvogel

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...
Die vollständige Induktion kann da schon irgendwie helfen, aber ich kann doch nicht mal einen sinnvollen Induktionsanfang basteln, weil ich ja nur eine allgemeine rekursive Gleichung habe. Wie meinst du denn das genau mit der vollständigen Induktion?
Kann ich das für < überhaupt damit zeigen?

10.12.2010, 15:45

tohuwabou

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Re: ...
Wie wär es denn, wenn du zeigst, dass $\begin{eqnarray*} a_n<\frac{1}{b} \forall n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ gilt, was ja nicht schwer ist, und dann $\begin{eqnarray*} a_n<a_{n+1} \end{eqnarray*}$ zeigst. Ich denke, das geht mit einer Abschätzung von $\begin{eqnarray*} a_n<\frac{1}{b} - \epsilon \end{eqnarray*}$

10.12.2010, 15:48

Paradiesvogel

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Idee!
Ich habe da mal noch eine Idee:

Wenn ich das an in die Definition dafür einsetze und größer der Definition selbst setze, könnte man doch damit evtl. zeigen, dass es monoton steigend ist. Ich komme dann damit auf:
$\begin{eqnarray*} 0< 2a_{n}- 5ba^2_{n} -4b^2a^3_{n} +b^3a^4_{n} \end{eqnarray*}$

Wenn ich den rechten Ausdruck jetz gleich Epsilon setze, kann ich doch annehmen, dass es gleich ist. Ab einem bestimmten n (wobei das ja noch von b abhängt und ich das eh nicht berechnen kann, da ich ja die Folge selbst nicht habe), dürfte es Null sein.

Hast du eine Idee, wie ich damit weitermachen kann? Kann ich das so sagen?

10.12.2010, 15:59

tmo

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Zitat:

Original von Paradiesvogel
Wenn ich den rechten Ausdruck jetz gleich Epsilon setze, kann ich doch annehmen, dass es gleich ist. Ab einem bestimmten n (wobei das ja noch von b abhängt und ich das eh nicht berechnen kann, da ich ja die Folge selbst nicht habe), dürfte es Null sein.

Warum solltest du annehmen dürfen, dass irgendwas gleich (oder kleiner) Epsilon ist? Wenn dann sollst du sowas ähnliches ja zeigen. Nämlich die Konvergenz.
Ich glaube nicht, dass dieser Brocken da oben zu irgendwas führt.

Mal ein anderer, aber meiner Meinung nach recht elleganter Weg.

Elementare Diskussion der Funktion $\begin{eqnarray*} f: x \mapsto 2x-bx^2 \end{eqnarray*}$ führt zu der Erkenntnis $\begin{eqnarray*} f\left((0,\frac{1}{b}) \right) \subseteq (0,\frac{1}{b}) \end{eqnarray*}$ . (Es bedarf noch nicht mal Differentialrechnung, dies sei nur gesagt, da du diese vermutlich noch nicht benutzen darfst)

Dies liefert zusammen mit einem Induktionsargument sofort die Beschränktheit.

Die Monotonie ist dann sofort ersichtlich, wenn man in der Rekursionsvorschrift ausklammert.

10.12.2010, 16:03

klarsoweit

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RE: Konvergenz von rekursiver Folge zeigen
Noch ein Hinweis von mir:

Mittels der 2. binomischen Formel kann man leicht zeigen, daß $\begin{eqnarray*} a_{n+1}= 2a_n - ba_n^2 < \frac 1 b \end{eqnarray*}$ ist.

10.12.2010, 16:12

Paradiesvogel

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Ähm...?
Naja, ich bin davon ausgegangen, dass dieser rechte Ausdruck ja immer kleiner wird, je größer n wird, also landen wir irgendwann bei Null, womit dann Monotonie gezeigt wäre... dachte ich...

Könntest du deine Idee vielleicht nochmal etwas genauer erläutern? Ich komme da grade nicht mit. Was ist das für eine Funktion? Wie kommst du darauf?

Das mit der zweiten binomischen Formel versuche ich jetzt mal.

10.12.2010, 16:36

Paradiesvogel

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?
...also ich habe das mit der binomischen Formel jetzt mal versucht, aber irgendwie kommt da nichts sinnvolles raus.

$\begin{eqnarray*} 2a_{n}-ba^2_{n}< \frac{1}{b} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 4a^2_{n}-4ba^3_{n}+b^2a^4_{n}< \frac{1}{b^2} \end{eqnarray*}$

Das habe ich dann versucht, nach an umzustellen, aber irgendwie geht das nicht wirklich? Ist da oben ein Fehler drin?

10.12.2010, 17:30

tohuwabou

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Re: ?
Da Klarsoweit gerade nicht antwortet, mach ich das mal .

Die Ungleichung $\begin{eqnarray*} 2a_n-b*{a_n}^2 < \frac{1}{b} \end{eqnarray*}$ wollen wir zeigen. Teilt man erst durch $\begin{eqnarray*} -b \end{eqnarray*}$ , ergibt das

$\begin{eqnarray*} {a_n}^2 - \frac{2}{b}a_n > -\frac{1}{b^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow (a_n-\frac{1}{b})^2 > -\frac{1}{b^2} +(\frac{1}{b})^2 =0 \end{eqnarray*}$

Mit Induktion würde ich sagen , ginge das so :

$\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_2=2a_1 -b{a_1}^2 <\frac{2}{b} -b\frac{1}{b^2} = \frac{1}{b} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n \rightarrow n+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_{n+2}=2a_{n+1} -b{a_{n+1}}^2<2 \frac{1}{b} -b*\frac{1}{b^2} = \frac{1}{b} \end{eqnarray*}$

10.12.2010, 17:41

Paradiesvogel

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Ich glaube...
Ich glaube, jetzt habe ich endlich den Beitrag von tmo vorhin verstanden.
Wenn ich das Ganze als Funktionsschar betrachte, also:
$\begin{eqnarray*} f(x)=2x-bx^2 \end{eqnarray*}$
Dann scheint es Sinn zu machen.
Diese Funktion ist ja immer eine nach unten geöffnete Parabel. Wenn ich von dieser das Maximum berechne, komme *Trommelwirbel* auf $\begin{eqnarray*} \frac{1}{b} \end{eqnarray*}$ Der Punkt dazu ist immer $\begin{eqnarray*} (\frac{1}{b},\frac{1}{b}) \end{eqnarray*}$ .

Durch das Maximum wäre gesagt, dass es der Grenzwert ist, da die Kurve ja nicht größer wird und der Grenzwert an sich ist damit auch ausgerechnet.

Das einzige Problem ist jetzt noch: Ich bin mir nich sicher, ob ich schon Differentialrechnung verwenden darf. Hat evtl. jemand eine Idee, wie ich das ohne berechnen kann? Soll ich Bildchen malen? ^^

10.12.2010, 17:58

klarsoweit

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Re: ?

Zitat:

Original von tohuwabou
$\begin{eqnarray*} a_2=2a_1 -b{a_1}^2 <\frac{2}{b} -b\frac{1}{b^2} = \frac{1}{b} \end{eqnarray*}$

Das Problem an dieser Stelle als auch beim Induktionsschritt ist, daß nicht sofort klar ist, warum $\begin{eqnarray*} 2a_1 -b{a_1}^2 <\frac{2}{b} -b\frac{1}{b^2} \end{eqnarray*}$ sein soll.

@Paradiesvogel: das Problem ist, daß dir von verschiedenen Leuten verschiedene Wege vorgeschlagen wurden. Solltest du weiterhin meinen Weg bevorzugen, dann sage Bescheid. Andernfalls werde ich mich hier raushalten.

10.12.2010, 18:31

tohuwabou

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Re: ?
@klarsoweit

Ja , seh ich ein smile

smile

Danke für den Hinweis.

11.12.2010, 22:07

Paradiesvogel

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Hm...
Ich hatte am Ende der letzten Seite 'ne Idee aufgeschrieben. Kann ich das so machen? Hat jemand eine Idee, wie ich ein Maximum ohne Differentialrechnung zeigen kann?

(Ja, ich habe viele verschiedene Antworten bekommen, aber es ist doch toll, wenn sich noch mehr Leute auf das Problem konzentrieren. m Grunde wollen wir doch alle das gleiche...) ^^

12.12.2010, 12:49

klarsoweit

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RE: Hm...
Bringe $\begin{eqnarray*} f(x)=2x-bx^2 \end{eqnarray*}$ in die Scheitelpunktform. Dann kannst du das Maximum direkt ablesen. Im Prinzip ähnelt das der Rechnung bei der vollständigen Induktion von tohuwabou.

Zitat:

Original von Paradiesvogel
(Ja, ich habe viele verschiedene Antworten bekommen, aber es ist doch toll, wenn sich noch mehr Leute auf das Problem konzentrieren. m Grunde wollen wir doch alle das gleiche...) ^^

Nur setze ich mich auch hin und rechne die Aufgabe durch. Die Zeit kann ich mir dann sparen.

16.12.2010, 16:53

Paradiesvogel

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Stimmt!
Hey, stimmt ja!! Darauf kam ich gar nicht. Wenn man so lange mit Differentialrechnung gut zurecht kommt...

OK, dann ist das ja gar kein Problem mehr.

Vielen Dank nochmal!! Ihr seid echt toll!!

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