Zeigen, dass ein Skalarprodukt definiert ist

10.12.2010, 14:42

MatheIstSupi

Zeigen, dass ein Skalarprodukt definiert ist

Folgende Aufgabe:

Für $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N}_0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a < b \end{eqnarray*}$ sei $\begin{eqnarray*} P_n([a,b]) \end{eqnarray*}$ der Vektorraum der auf $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ eingeschränkten Polynome vom Grad $\begin{eqnarray*} \leq n \end{eqnarray*}$ . Für $\begin{eqnarray*} p, q \in P_n([0,1]) \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} p(x) := a_0 + a_1x \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} q(x) := b_0 + b_1x \end{eqnarray*}$ , wobei
$\begin{eqnarray*} x \in [0,1], a_0, a_1, b_0, b_1 \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

sei

$\begin{eqnarray*} (p,q) := a_0 b_0 + \frac{1}{2} (a_0 b_1 + a_1 b_0)+ \frac{1}{3} a_1 b_1 \end{eqnarray*}$

Zu zeigen ist, dass damit ein Skalarprodukt auf $\begin{eqnarray*} P_1([0,1]) \end{eqnarray*}$ definiert ist.

Ich will mal beispielhaft zeigen, wie ich beweisen würde, dass

$\begin{eqnarray*} (p,q) = (q,p) \end{eqnarray*}$ . Wenn ich das richtig habe, ist der Rest (wie positive Definitheit etc.) wohl auch richtig.

Na ja, ich würde einfach schreiben:

$\begin{eqnarray*} (q,p) = b_0 a_0 + \frac{1}{2} (b_0 a_1 + b_1 a_0)+ \frac{1}{3} b_1 a_1 \end{eqnarray*}$ . Ich würde also einfach die Variablen a und b vertauschen, da die Variablen $\begin{eqnarray*} a_j \end{eqnarray*}$ zu p und $\begin{eqnarray*} b_j \end{eqnarray*}$ zu q gehören und damit wäre es schon gezeigt. Reicht das denn so? Kommt mir ja etwas simpel vor.

10.12.2010, 14:51

Mazze

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Zitat:

Reicht das denn so? Kommt mir ja etwas simpel vor

Der Beweis der Symmetrie ist tatsächlich in einer Zeile erbracht. Aber ein wenig mehr als Du muss man schon aufschreiben (machen tu ich das gleiche wie Du). Etwa so

$\begin{eqnarray*} (p,q) = a_0b_0 + \frac{1}{2}(a_0b_1 + a_1b_0) + \frac{1}{3}a_1b_1 = b_0a_0 + \frac{1}{2}(b_0a_1 + b_1a_0) + \frac{1}{3}b_1a_1 = (q,p) \end{eqnarray*}$

Und hier sieht man also (p,q) = (q,p) (Gleichungskette)

10.12.2010, 15:21

MatheIstSupi

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Gut, die positive Definitheit ist ja noch einfacher. Ich frage mich jetzt allerdings, wie ich zeige:

$\begin{eqnarray*} (\lambda p,q) = \lambda (p,q) \end{eqnarray*}$ .

Die rechte Seite ist ja noch einfach aufzuschreiben, nämlich:

$\begin{eqnarray*} \lambda(p,q) = \lambda a_0 b_0 + \frac{1}{2} \lambda(a_0 b_1 + a_1 b_0)+ \frac{1}{3} \lambda a_1 b_1 \end{eqnarray*}$ .

Aber was ist denn $\begin{eqnarray*} (\lambda p,q) \end{eqnarray*}$ ?

$\begin{eqnarray*} \lambda p \end{eqnarray*}$ wäre $\begin{eqnarray*} \forall x \in [0,1]: (p(x) = \lambda a_0 + \lambda a_1x) \end{eqnarray*}$

Heißt das, ich muss überall wo $\begin{eqnarray*} a_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ steht ein $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ multiplizieren? Also so:

$\begin{eqnarray*} (\lambda p,q) = \lambda a_0 b_0 + \frac{1}{2} (\lambda a_0 b_1 + \lambda a_1 b_0)+ \frac{1}{3} \lambda a_1 b_1 \end{eqnarray*}$ .

Kommt jedenfalls das Richtige bei raus?

Noch eine allgemeinere Frage, vor allem für Prüfungen. Muss man diese ganzen "technischen" Definitionen auswendig lernen? Ich meine, alleine die fast 2 Dutzend Vektorraumaxiome lernt doch keiner auswendig, oder? Bei einer Prüfung wäre ich jedenfalls aufgeschmissen, wenn man mir sagen würde, ich solle zeigen, dass "dies und das" ein Vektorraum ist, ohne dass ich die Eigenschaften in der Definition nachschauen dürfte. Ich könnte halt nur erzählen, dass das Quadrupel $\begin{eqnarray*} <V,+,K,m> \end{eqnarray*}$ mit den Abbildungen + (Vektoraddition) und m (Skalarmultiplikation) ein Vektorraum über den Körper K ist, wenn $\begin{eqnarray*} <V, +> \end{eqnarray*}$ eine abelsche Gruppe ist und noch "ein paar andere Eigenschaften" erfüllt werden, die ich dann aber nicht mehr im Kopf hätte. verwirrt

10.12.2010, 15:37

Mazze

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Zitat:

Heißt das, ich muss überall wo und steht ein multiplizieren?

Ja natürlich. Und genauso geht der Beweis ja auch.

Was für Prüfungen relevant ist, hängt auch vom Prof ab. Ich bezweifle dass man nach den Vektorraumaxiomen gefragt wird, aber ich könnte sie jetzt aus dem Stehgreif aufschreiben, ganz einfach weil es natürliche Anforderungen sind die man oft findet.

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