Lineare Abhängigkeit

10.12.2010, 15:16

Gosslot

Lineare Abhängigkeit

Meine Frage:
Sei V ein Vektorraum mit

$\begin{eqnarray*} V := \mathbb R ^{\mathbb N} \end{eqnarray*}$

und A eine Teilmenge des Vektorraums mit

$\begin{eqnarray*} A := \left\{\left(\frac{k}{n^{k}} \right)_{n\in\mathbb N}\in \mathbb R^{\mathbb N} | k = 1, 2, ...\right\} \end{eqnarray*}$ .

Hierbei bezeichnet $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{\mathbb N} \end{eqnarray*}$ den Vektorraum aller reeller Zahlen.

Ist die Teilmenge A linear unabhängig oder linear abhängig?

Meine Ideen:
Ansatz: Wäre A linear abhängig, müsste es zwei unterschiedliche Elemente (= Reihen) $\begin{eqnarray*} x_{1}, x_{2} \end{eqnarray*}$ aus A geben, für die gilt:

$\begin{eqnarray*} x_{1} \cdot a = x_{2} (a \in \mathbb R) \end{eqnarray*}$ . (Frage: muss a eine reelle Zahl sein?)

Löst man die Gleichung nach a auf, erhält man aber eine Folge, also keine reelle Zahl, weswegen es eine solche Gleichung nicht geben kann. Damit ist A linear unabhängig.

Kann man so vorgehen?

10.12.2010, 15:31

Mazze

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Dein Ansatz ist schon falsch. Wieso sollen es zwei sein? Es können auch zwanzig sein, das hängt vom Raum ab. Man kann Mengen angeben, in denen alle Vektoren paarweise linear unabhängig sind, aber insgesamt alle linear abhängig sind.

Deine Menge hier besteht sogar aus unendlich vielen Elementen.

$\begin{eqnarray*} \left(1, \frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},....,\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left(2, \frac{1}{2},\frac{2}{9},\frac{1}{8},....,\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left(3, \frac{3}{8},\frac{1}{9},\frac{3}{64},....,\right) \end{eqnarray*}$

Damit die Menge linear unabhängig ist, müssen also alle (!) Vektoren linear unabhängig sein.

Sprich Du erhälst eine Reihe , nämlich

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty \lambda_k v_k = 0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} v_k \in A \end{eqnarray*}$

Beachte, dass die Null auf der rechten Seite die Folge ist, die überall Nullen hat! Die Menge ist linear unabhängig, wenn aus dieser Gleichung die Tatsache folgt, dass alle Lambda = 0 sind.

10.12.2010, 15:41

tmo

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Sorry, das ich mich einmische, aber:

Zitat:

Original von Mazze
Sprich Du erhälst eine Reihe , nämlich

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty \lambda_k v_k = 0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} v_k \in A \end{eqnarray*}$

Das macht doch so wenig Sinn, eine unendliche Summe ist in einem Vektorraum a priori gar nicht definiert.

Viel mehr ist doch per Definition eine unendliche Familie von Vektoren genau dann linear unabhängig, wenn jede endliche Teilfamilie linear unabhängig ist.

Ist insbesondere $\begin{eqnarray*} v_1, v_2, \dotsc \end{eqnarray*}$ eine Abzählung der Familie, so reicht es zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \{v_1, \dotsc, v_m\} \end{eqnarray*}$ für jedes m linear unabhängig ist.

Das wäre dementsprechend also hier zu tun (oder ein Gegenbeispiel anzugeben).

10.12.2010, 15:43

Mazze

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Stimmt Du hast recht. Ich hab bei der Überlegung ob dass Ganze mit vollständiger Induktion geht auch kurz über die Endlichkeit nachgedacht. Danke!

10.12.2010, 15:44

pseudo-nym

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RE: Lineare Abhängigkeit

Zitat:

Original von Gosslot
Hierbei bezeichnet $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{\mathbb N} \end{eqnarray*}$ den Vektorraum aller reeller Zahlen.

Der Vektorraum der rellen Folgen würde mit dieser Notation mehr Sinn ergeben.
(Werde ich ab jetzt annehmen)

Zitat:

Original von Gosslot
$\begin{eqnarray*} x_{1} \cdot a = x_{2} (a \in \mathbb R) \end{eqnarray*}$ . (Frage: muss a eine reelle Zahl sein?)

Diese Notation ist für reelle a rein symbolisch zu verstehen. Man kann da a priori keine Umformungen machen. Ausgeschrieben gilt
$\begin{eqnarray*} x_{1} \cdot a = x_{2} := \forall n \in \mathbb N : (x_n)_{1} \cdot a = (x_n)_{2} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Mazze
Beachte, dass die Null auf der rechten Seite die Folge ist, die überall Nullen hat! Die Menge ist linear unabhängig, wenn aus dieser Gleichung die Tatsache folgt, dass alle Lambda = 0 sind.

Halte ich nicht für die geeignete Interpretation. Gosslot hat offensichtlich die Skalarmultiplikation im K-Vektorraum V ist eine Abbildung mit Definitionsbereich $\begin{eqnarray*} K \times V \end{eqnarray*}$ aufgefasst und das ist auch erstmal okay so.
(Ist mehr eine didaktische Beschwerde Augenzwinkern

)

Edit: Ist ja einiges passiert seit ich meine Antwort begonnen habe...

11.12.2010, 19:25

Jean-Louis Bouffon

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Zitat:

Original von tmo
Sorry, das ich mich einmische, aber:

Zitat:

Original von Mazze
Sprich Du erhälst eine Reihe , nämlich

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty \lambda_k v_k = 0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} v_k \in A \end{eqnarray*}$

Und wie tut man das? Kannst du deine Idee noch ein bisschen weiter ausführen, ich stehe auf dem Schlauch.

12.12.2010, 15:19

Gosslot

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Joa, das wüsste ich auch gerne.

Ich komme da nicht weiter.

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