Polynomfunktion: Funktionsgleichung bestimmen

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ju94s Auf diesen Beitrag antworten »
Polynomfunktion: Funktionsgleichung bestimmen
Meine Frage:
Wir haben ein Arbeitsblatt mit verschiedenen Graphen verschiedener Polynomfunktionen bekommen.
Um zu entscheiden, ob die Funktion achsensymmetrisch oder punktsymmetrisch ist, muss ich doch die Funktionsgleichung kennen oder?

Meine Ideen:
Auf dem Arbeitsblatt ist nichts weiter angegeben, deshalb habe ich null Ahnung, wie man eine Funktionsgleichung bestimmt.
Ich vermute, dass ich mit dem Achsenabschnitt anfangen kann, also da, wo der Graph die Y-Achse schneidet, richtig?
Kann mir jemand ein systematisches Vorgehen zeigen?
Vielen Dank schon mal!
baphomet Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynomfunktion: Funktionsgleichung bestimmen
Als erstes schaust du nach wo die Funktion Schnittpunkte mit der x-Achse hat,
also Nullstellen und wieviele Nullstellen es gibt. Weiterhin ist bei den Nullstellen
darauf zu achten ob die x-Achse berührt oder geschnitten wird.

Damit lässt sich die Funktionsgleichung sehr gut bestimmen, vielleicht lädts du mal
dein Aufgabenplatt hier hoch
 
 
Math² Auf diesen Beitrag antworten »

also du hast nur eine zeichnung
dann such dir doch deutliche ausmachbare punkte wie 3|1 oder so
und setz so die gleichung zusammen
ju94s Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynomfunktion: Funktionsgleichung bestimmen
Und dann? Das hilft mir nicht weiter, da eine Polynomfunktion doch immer mit x^3 + x^5 usw. sind.
Wie weiß man denn, wie hoch die Exponenten jeweils sind?
Kann man das tatsächlich am Graphen ablesen?
baphomet Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynomfunktion: Funktionsgleichung bestimmen
Doch das hilft dir alles weiter, da du anhand der Nullstellen und ob Sie die
x-Achse schneiden oder berühren entscheiden kannst welche Potenz es ist.

Desweiteren musst man den Grenzbereich der Funktion anschauen, dann kann man
schon mal unterscheiden ob es sich um eine gerade bzw. ungerade Funktion handelt.

Lade bitte mal dein Arbeitsplatt mit den Graphen hoch.
ju94s Auf diesen Beitrag antworten »

Echt? Wie denn das? Könntest du vielleicht etwas konkreter werden?
Ich meine, du sollst ja nicht meine Hausaufgaben machen, das ist klar, aber ich verstehs einfach nicht und damit ICH MEINE hausaufgaben machen kann, brauche ich Hilfe.
baphomet Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das geht und ich möchte dir helfen und nicht die Hausaufgaben machen, aber
um mich von der Richtigkeit deiner Ergebnisse zu überzeugen und nicht das wir
aneinander vorbei reden empfehle ich dir nochmals ,lade das Arbeitsblatt hoch.



1. Wie viele Graphen sind auf deinem Arbeitsblatt?
2. Mit welchen willst du anfangen(Nullstellen bitte durchgeben)
ju94s Auf diesen Beitrag antworten »

Was meinst du mit Grenzbereich?
Wie kann man denn hier ein Arbeitsblatt hochladen?
Tut mir Leid, bin neu hier! unglücklich
baphomet Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du zuhause einen Scanner oder All In One Drucker hast scannst du dein
Arbeitsblatt ein, und hier im Editor gibts über der Texteingabe verschiedene Symbole.
eins davon dient zum Bilder hochladen, das 7. von links beim Standardeditor.

Mit Grenzbereich meine ich auf deinem Arbeitsblatt, welche Funktionswerte
am Rand des Koordinatensystem für deine Funktionen auftreten.
ju94s Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, mist, so etwas hab ich nicht unglücklich
Aber es muss doch allgemein Wege geben, um die Gleichung zu bestimmen, oder bin ich da total falsch?
baphomet Auf diesen Beitrag antworten »

Ich biete dir die einfachste Möglichkeit an, jetzt liegt es an dir ob du diese
nutzen möchtest.

Wenn ja geb mir mal alle Daten deines ersten Graphen

1. Nullstellen(x-Achse berührt oder geschnitten)
2. Funktionswerte bei den Grenzbereichen
3. Schnittpunkt mit der y-Achse.
ju94s Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, also.
Es gibt drei Graphen auf dem Blatt.

F1: Nullstelle bei y=-1 und y=-3 und y=4
F2: keine Nullstelle erkennbar
F3: Nullstelle bei y=0 und y=-3,8
ju94s Auf diesen Beitrag antworten »

Grenzbereichswerte, ich versteh nicht, wo ich die ablesen soll unglücklich
baphomet Auf diesen Beitrag antworten »

OK, dann fangen wir mit Funktion F1 an, ich benötige aber noch mehr Informationen.
Wird die x-Achsebei den Nullstellen geschnitten, oder berührt. Und wie verhält
sich der Graph bei den Grenzbereichen.

Grenzbereich--> y-Werte(Funktionswerte) benötige ich
ju94s Auf diesen Beitrag antworten »

F1: Die x-Achse wird geschnitten, an den drei Nullstellen.

Grenzbereich: y-Wert 8 (Graph verlässt das Arbeitsblatt nach "norden")
und y-Wert -8 (Graph verlässt das AB nach "Süden")

Ist das ok?
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

@ju94s

Du kannst das Arbeitsblatt auch abfotografieren, das geht sogar mit dem Handy. Speichere das Bild im PC und lade es über den Button "Dateianhänge" direkt in einen Beitrag hoch.
baphomet Auf diesen Beitrag antworten »

OK, das sind genügend Informationen:

Da der Graph für negative x-Werte auch negative y-Werte liefert und dementsprechend
für positve x-Werte positive y-Werte wissen wir das es sich um eine ungerade
Funktion handelt,also ungerader Exponent, die Nullstellen bestätigen die Vermutung.

Somit können wir die Funktionslgeichung anhand der Nullstellen aufstellen.
Denn jede Nullstelle lässt sich als Linearfaktor darstellen.



Jetzt stellt sich nur noch die Frage nach dem Schnittpunkt mit der y-Achse bei
diesem Graphen, denn es gibt unendlich viele Funktionen mit diesen Nullstellen, aber
nur eine wo auch der Schnittpunkt mit der y-Achse stimmt.

Deshalb wo schneidet der Graph die y-Achse?
ju94s Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt hab ich auch das Arbeitsblatt smile
ju94s Auf diesen Beitrag antworten »

Also f1 ist der blaue, ich hoffe man kann das erkennen.
SCHONMAL TAUSEND DANK FÜR DEINE HILFE, du bist echt spitze smile
Der Graph schneidet die y-achse bei -1,8 etwa.
das bedeutet, die -1,8 hängt man bei der FUnktionsgleichung noch hintendran oder??
baphomet Auf diesen Beitrag antworten »

Nein deine Vermutung ist falsch.

Der Schnittpunkt mit der y-Achse liegt bei y=-1,8,nun setzt du den Schnittpunkt
mit der y-Achse in die obige Funktion ein und es ensteht folgende
Gleichung:



Jetzt brauchst du nur noch das a ermitteln.



Ich gehe schonmal zu dem orangen Graphen über, dazu müsste ich wissen ob du
schon Differentialrechnung kennst?
Auch hier folgende Informationen(Nullstellen, Verhalten in Grenzbereichen)
und welche Punkte fallen dir besonders auf?
ju94s Auf diesen Beitrag antworten »

Differenzialrechnung kenne ich nicht.

Ähm, blöd gefragt, wie ermittle ich das a? Einfach Gleichung nach a auflösen?
Die klammern verunsichern mich :/
baphomet Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist doch ganz einfach.

Du setzt das x bei deinem Schnittpunkt mit der y-Achse ein, dieses ist ja dort 0.
Nun brauchst du die Klammern ausmultiplizieren und
errechnest a indem di nach a auflöst.
ju94s Auf diesen Beitrag antworten »

Du bist so super, danke, das ist echt logisch, aber manchmal brauch ich einen Stups smile

Also. Hast du noch Zeit, mir zu helfen?
Das ist soosososo nett von dir!!
Die orangene Funktion, das ist f2
Die Nullstellen gibt es nicht, da er in der Luft schwebt.
Aber wenn man den nach unten verschieben würde, käme man auf 5 Nullstellen, das bedeutet, es handelt sich maximal um eine polynomfunktion 5. Grades, richtig?
Die y-Achse schneidet der Graph bei 3.
baphomet Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe noch Zeit dir zu helfen.

Die Funktionswerte gehen für positive und negative x-Werte gegen Unendlich, heißt
werden immer größer. Das lässt darauf schließen das es sich um eine gerade Funktion
handelt, ist ja auch noch Achsensymmetrisch was dies bestätigt.

Aus dem Graphen sind 3 Punkte genau gegeben, aus diesen müssen wir jetzt
Gleichungssysteme bilden.

Da die Funktion achsensymmetrisch ist, wissen wir das nur gerade Exponenten
in der Funktionslgeichung vorkommen, 3 Gleichungen=3 Unbekannte ergibt folgende
Funktionslgeichung:




Kannst du mir soweit folgen?
ju94s Auf diesen Beitrag antworten »

Kann ich, allerdings bin ich noch mit f1 beschäftigt.
ich habe für a jetzt 0,2 raus.

das bedeutet

ist DAS jetzt die Funktionsgleichung?


Zu f2:
Gehen die Werte nicht immer gegen unendlich? Bei f1 doch zum beispiel auch oder?
baphomet Auf diesen Beitrag antworten »

Ja ist korrekt.

Ja gegen Unendlich, fragt sich nur ob positiv oder negativ, das spielt eine
wichtige Rolle.
ju94s Auf diesen Beitrag antworten »

HÄÄ?


oder nicht??
0+1= 1
0+3= 3
0-3 =-3

PS: die Nullstelle ist nicht bei 4 sondern bei 3. Tut mir Leid, mein Fehler unglücklich Nicht böse sein!

Und wenn man das ausrechnet, erhält man -9
und -1,8=-9a

also a=0,2

Aber ist 0,2*(x+1)(x-3)(x+3)
die endgültige Funktionsgleichung?
Da sind doch gar keine Hochzahlen :/
baphomet Auf diesen Beitrag antworten »

Ja mein Fehler, war schon korrekt.

Ja ist die endgültige Funktionsgleichung, wenn du das ausmultiplizierts entstehen die
Hochzahlen(x^2 usw).
ju94s Auf diesen Beitrag antworten »

Also, ich hab die Funktionsgleichung für f1 jetzt. Juhu, sie lautet wie folgt:


Jetzt können wir bei f2 weitermachen.
Also ich habe verstanden, dass die Werte gegen unendlich laufen.
weiter?
war meine Vermutung, dass es sich höchstens um ein polynom 5. Grades handeln kann, richtig?
baphomet Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Vermutung war wie oben schon angegeben falsch, das habe ich dir auch
oben bereits erläutert, egal wie du die Funktion verschiebst es gibt
maximal 4 Nullstellen.
ju94s Auf diesen Beitrag antworten »

Okay. gut. Also:



Woher weißt du und ?

Wie kriegt man das raus?
baphomet Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist ein bx^2 nicht hoch drei, das kann ich dir sagen weil wir Achsensymmetrie
vorliegen haben, das heißt es treten nur Potenzen gerader Ordnung auf.



Für Achsensymmetrie muß gelten:


und das gilt nur wenn nur gerade Exponenten in der Funktionsgleichung vorkommen.
Wenn du dir den Graph der Funktion genau anschaust wirst du feststellen das dieser
achsensymmetrisch zur y-Achse ist. Daher schlussfolgere ich die Bedingung dafür.
ju94s Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, du hast recht.
Und da es HÖCHSTENS sein kann und es sich ja um ein Polynom handelt, muss es noch mindestens ein anderes x mit Hochzahl geben. Und da bleibt nur , da ja alle Exponenten gerade sein müssen.
Das hab ich verstanden smile
baphomet Auf diesen Beitrag antworten »

Gut dann weiter zur Findung der Funktionsgleichung:



Wir haben 3 Punkte gegeben diese können wir in die Funktionslgeichung
einsetzen und es entstehen 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten



Die erste Unbekannte wurde bereits ermittelt, deshalb haben wir
nur noch 2 Unbekannte die es gilt zu ermitteln. Hilfreich ist hierbei das
Additionsverfahren.

Dann ist jetzt deine Aufgabe
ju94s Auf diesen Beitrag antworten »

Muss es bei der 2. Gleichung nicht

2=-2^4a MINUS 2^2b + c heißen?

Denn du hast ja sonst zweimal die gleiche Gleichung, obwohl die drei Punkte doch

(-2/2) , (0/3) und (2/2)
heißen.

oder?
baphomet Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, aber das Quadrat einer negativen Zahl ist doch positiv
ju94s Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt.
Du hast immer recht smile
Manno, ich wäre auch gern so gut wie du, studierst du Mathe?

Ich hab jetzt zweimal das gleiche übereinander stehen,
wie geht nochmal das Additionsverfahren?
ich wusste das mal, aber ich habs vergessen unglücklich
baphomet Auf diesen Beitrag antworten »

Zu deiner Beruhigung, nein ich studiere nicht Mathematik und habe es nie
studiert.

Bin erstmal ratlos, sehe nämlich nicht wie es weitergeht.
ju94s Auf diesen Beitrag antworten »

Oh nein, und jetzt?
Was machst du denn, dass du Mathe so gut kannst?
Wieso weißt du nicht wie's weiter geht?
Wenn man die Gleichungen addiert bringts nichts und subtrahieren ergäbe null.
Mist. Sind wir auf dem Holzweg?
baphomet Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kann dir im Moment wirklich nicht weiterhelfen bei diesem Graphen, vielleicht
habe ich irgendetwas übersehen oder einen Fehler gemacht.

Lass uns erstmal zum nächsten übergehen, vielleicht fällt uns bis dahin etwas ein.

Ich würde den GRÜNEN nehmen, fällt dir irgendetwas besonderes auf?
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