Cauchy Produkt

10.12.2010, 19:35

hnky

Cauchy Produkt

hallo,

ich stehe gerade bei einem umformungsschritt auf dem schlauch.

man soll für $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |z|<1 \end{eqnarray*}$ zeigen, dass das Cauchy Produkt von $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=0}^\infty z^j \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=0}^\infty (-1)^jz^j \end{eqnarray*}$ gleich $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=0}^\infty z^{2j} \end{eqnarray*}$ ist, und das ganze auf direktem wege(also ohne benutzung von geometrischer reihe und ähnlichem).

soweit bin ich gekommen:

$\begin{eqnarray*} (\sum\limits_{j=0}^\infty z^j ) (\sum\limits_{j=0}^\infty (-1)^jz^j) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\sum\limits_{j=0}^\infty \sum\limits_{k=0}^j z^k*(-1)^{j-k} *z^{j-k} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\sum\limits_{j=0}^\infty \sum\limits_{k=0}^j (-1)^{j-k} *z^{j} \end{eqnarray*}$

jetzt sehe ich gerade aber den nächsten schritt nicht.

kann mir jemand einen tipp geben?

danke schonmal im voraus.

11.12.2010, 15:54

wogir

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RE: Cauchy Produkt
Wie wärs mit

$\begin{eqnarray*} =\sum_{j=0}^\infty (-1)^j z^j\sum_{k=0}^j (-1)^k \end{eqnarray*}$

11.12.2010, 19:47

nussecke

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RE: Cauchy Produkt
wie kommst du darauf? kannst du mir das nochmal genauer erklären?

11.12.2010, 19:53

wogir

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Alles was nicht von k abhängt aus der inneren Summe rausziehen und außerdem ist $\begin{eqnarray*} (-1)^{-k}=(-1)^k \end{eqnarray*}$ .

12.12.2010, 20:38

nussecke

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achso okay.

aber ich komme immer noch nicht ganz klar.

also es gilt ja

$\begin{eqnarray*} ...=\sum\limits_{j=0}^\infty z^{j}* z^{j} .=\sum\limits_{j=0}^\infty z^{2j} \end{eqnarray*}$

aber ich verstehe jetzt nicht, wie ich von deinem vorschlag dorthin kommen kann... unglücklich

kannst du mir noch einen tipp geben ?

grüße

13.12.2010, 10:22

wogir

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RE: Cauchy Produkt
Der Ausdruck

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^j (-1)^k \end{eqnarray*}$

kann nur zwei Werte annehmen.

13.12.2010, 20:18

nussecke

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RE: Cauchy Produkt
ja, wenn j gerad ist, dann gilt

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty (-1)^j*z^j*1 = \sum\limits_{k=0}^\infty (-1)^j*z^j \end{eqnarray*}$

und wenn j ungerade ist, dann gilt:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty (-1)^j*z^j*(-1)=(-1)\sum\limits_{k=0}^\infty (-1)^j*z^j \end{eqnarray*}$ -

theoretisch müsste ich mit beiden ausdrücken auf das gewünschte kommen....

13.12.2010, 23:48

wogir

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nö, wenn j ungerade ist, ist die innere summe null.

15.12.2010, 08:20

nussecke

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ach ja, stimmt.
also wenn für j ungerade die innere summe null wird, dann wird das ganze null. also brauch ich mich mit diesen fall nicht weiter zu beschäftigen, sondern nur mit dem fall j gerade?!

15.12.2010, 10:48

wogir

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Sozusagen.

15.12.2010, 12:39

nussecke

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$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=0}^\infty (-1)^j*z^j*\sum\limits_{k=0}^j (-1)^k \end{eqnarray*}$ =(j gerade) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=0}^\infty z^j \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=0}^\infty z^{2j} \end{eqnarray*}$

richtig?

15.12.2010, 13:01

wogir

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Zitat:

Original von nussecke
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=0}^\infty (-1)^j*z^j*\sum\limits_{k=0}^j (-1)^k \end{eqnarray*}$ =(j gerade) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=0}^\infty z^j \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=0}^\infty z^{2j} \end{eqnarray*}$

richtig?

Im Prinzip schon, nach dem ersten "=" würde ich allerdings sowas wie
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=0}^\infty (-1)^j*z^j*\sum\limits_{k=0}^j (-1)^k = \sum_{j=0, \text{j gerade}}^\infty z^j \end{eqnarray*}$
hinschreiben.

15.12.2010, 13:17

nussecke

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okay, alles klar.
danke für deine hilfe Freude

15.12.2010, 20:27

mohnstrudel

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Ich muss die Aufgabe auch lösen. Auf die Schritte, die ihr hier beschreibt, bin ich auch gekommen, komme aber immer noch nicht auf $\begin{eqnarray*} z^{2j} \end{eqnarray*}$ .
Wenn j gerade ist, steht da noch:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=0}^\infty z^{j} \sum\limits_{k=0}^j (-1)^{k} \end{eqnarray*}$ bei mir.

15.12.2010, 22:38

mohnstrudel

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Manchmal bin ich echt vernagelt...
Habs meinen Denkfehler gefunden.

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