Äquivalenzrelation für Gruppen

10.12.2010, 19:37

zwergnase

Äquivalenzrelation für Gruppen

Hallo Ihr, Wink

Ich mochte zeigen das folgende Relation eine Äquivalenzrelation auf Gruppen definiert:

Seinen $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ Gruppen. Die Gruppen $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ sind äquivalent, also $\begin{eqnarray*} G \sim H \end{eqnarray*}$ , wenn es Untergruppen $\begin{eqnarray*} G' \subset G \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} H' \subset H \end{eqnarray*}$ von endlichem Index gibt mit $\begin{eqnarray*} G' \cong H' \end{eqnarray*}$ .

Reflexitivität und Symmetrie sind relativ offensichtlich, aber der Transitivität komme ich nicht so recht weiter.

Gelte also $\begin{eqnarray*} G \sim H \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} H \sim F \end{eqnarray*}$ .
Aus $\begin{eqnarray*} G \sim H \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} H \sim F \end{eqnarray*}$ folgt die Existenz einer Untergruppe mit endlichem Index in $\begin{eqnarray*} H_{1}' \subset H \end{eqnarray*}$ und in $\begin{eqnarray*} H_{2}' \subset H \end{eqnarray*}$ , aber diese müssen ja nicht zwingen isomorph sein! Hat da jemand bitte eine Idee, mir fällt so gar nichts ein... verwirrt

da auch irgendwie so wenig vorausgesetzt ist was man irgendwie einbringen könnte?

Viele Grüße Wink

11.12.2010, 08:35

pseudo-nym

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Schau dir mal den Schnitt von $\begin{eqnarray*} H_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} H_2 \end{eqnarray*}$ an.

11.12.2010, 18:16

zwergnase

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Hallo pseudo-nym,

danke für deinen Tipp, aber leider sehen ich nicht so recht wie mich das weiter bringen könnte. Der Schnitt von $\begin{eqnarray*} H_{1}'\cap H_{2}' \end{eqnarray*}$ kann folgendermaßen aussehen:
Falls $\begin{eqnarray*} H_{1}' \subset H_{2}' \end{eqnarray*}$ dann gilt $\begin{eqnarray*} H_{1}'\cap H_{2}' \cong H_{1}' \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} H_{1}' \cong G' \end{eqnarray*}$
Falls $\begin{eqnarray*} H_{1}' \supset H_{2}' \end{eqnarray*}$ dann gilt $\begin{eqnarray*} H_{1}'\cap H_{2}' \cong H_{2}' \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} H_{2}' \cong F' \end{eqnarray*}$
oder $\begin{eqnarray*} H_{1}' \cap H_{2}' = \varnothing \end{eqnarray*}$ dann ist der Schnitt weder zu $\begin{eqnarray*} H_{1}' \end{eqnarray*}$ noch zu $\begin{eqnarray*} H_{2}' \end{eqnarray*}$ isomorph.

11.12.2010, 18:33

pseudo-nym

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Mit deiner Fallunterscheidung hab ich zwei Probleme:

Der dritte Fall kann nicht eintreten, denn zwei Untergruppen können nicht disjunkt sein.
Stattdessen müsstest du noch den Fall $\begin{eqnarray*} A \triangle B \neq \emptyset \end{eqnarray*}$ betrachten.

Unabhängig davon brauchst du gar keine Fälle zu unterscheiden.
Zeige lediglich, dass o.E. gilt $\begin{eqnarray*} H_1 \cap H_2 \end{eqnarray*}$ ist Untergruppe von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} (G: H_1 \cap H_2) < \infty \end{eqnarray*}$

11.12.2010, 19:13

zwergnase

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Hallo pseudo-nym,

also ich konnte zeigen das $\begin{eqnarray*} H_{1}' \cap H_{2}' \end{eqnarray*}$ wieder eine Untergruppe ist. Deshalb kann natürlich $\begin{eqnarray*} H_{1}' \cap H_{2}'= \varnothing \end{eqnarray*}$ nicht vorkommen, das neutrale Element aus $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ ist auf jeden Fall enthalten. Das der Schnitt wieder endlichen Index hat kann ich glaube ich auch zeigen. Aber ich sehe immer noch nicht wie mir das helfen kann Hammer

11.12.2010, 19:18

kiste

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Schränke deine Isomorphismen entsprechend ein.

11.12.2010, 19:20

pseudo-nym

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$\begin{eqnarray*} H_1 \cap H_2 \end{eqnarray*}$ eine Untergruppe von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} (G: H_1 \cap H_2) < \infty \end{eqnarray*}$ ist, dann gilt diese Aussage auch für F anstatt G.
Daraus folgt $\begin{eqnarray*} F \sim G \end{eqnarray*}$ und du bist fertig.

11.12.2010, 19:23

gonnabphd

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Off-Topic:

Zitat:

Seinen $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ Gruppen. Die Gruppen $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ sind äquivalent, also $\begin{eqnarray*} G \sim H \end{eqnarray*}$ , wenn es Untergruppen $\begin{eqnarray*} G' \subset G \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} H' \subset H \end{eqnarray*}$ von endlichem Index gibt mit $\begin{eqnarray*} G' \cong H' \end{eqnarray*}$ .

Die Aufgabe macht ja mal null Sinn... unglücklich

Mit dieser Äquivalenzrelation sind dann einfach alle Gruppen äquivalent, man beacht als Untergruppen jeweils das neutrale Element. q.e.d

11.12.2010, 19:29

kiste

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RE: Äquivalenzrelation für Gruppen

Zitat:

Original von zwergnase
Seinen $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ Gruppen. Die Gruppen $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ sind äquivalent, also $\begin{eqnarray*} G \sim H \end{eqnarray*}$ , wenn es Untergruppen $\begin{eqnarray*} G' \subset G \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} H' \subset H \end{eqnarray*}$ von endlichem Index gibt mit $\begin{eqnarray*} G' \cong H' \end{eqnarray*}$ .

Nein gonnabphd, beachte das fett markierte.

11.12.2010, 19:32

gonnabphd

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Ahh,

man sollte genau lesen, bevor man rummeckert.

11.12.2010, 20:57

zwergnase

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Achso, nun hab auch ich mich verschaut... ich versuche gerade zu zeigen dass $\begin{eqnarray*} H_1 \cap H_2 \end{eqnarray*}$ eine Untergruppe von $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} (H: H_1 \cap H_2) < \infty \end{eqnarray*}$ ist, warum sollte das auch $\begin{eqnarray*} H_1 \cap H_2 \end{eqnarray*}$ eine Untergruppe von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} (G: H_1 \cap H_2) < \infty \end{eqnarray*}$ gelten? verwirrt

Ich meine es gilt doch $\begin{eqnarray*} H_{1} \cong G' \end{eqnarray*}$ also gilt $\begin{eqnarray*} H_{1} \cap H \end{eqnarray*}$ , aber warum sollte das für $\begin{eqnarray*} H_{2} \end{eqnarray*}$ gelten?

11.12.2010, 21:14

pseudo-nym

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Mach dir klar, dass $\begin{eqnarray*} H_1 \cap H_2 \end{eqnarray*}$ eine Untergruppe von $\begin{eqnarray*} H_1 \end{eqnarray*}$ ist.

11.12.2010, 21:59

zwergnase

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Super

, danke pseudo-nym nun habe ich alles zusammen, das war der entscheidende Tipp! Schönen Abend!

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