Inverse Matrix von (A-B), A^x = E, B nilpotent |
10.12.2010, 21:46 | AlexG | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Inverse Matrix von (A-B), A^x = E, B nilpotent Hi, ich bräuchte Hilfestellung bei folgender Aufgabe: Es sind zwei quadratische Matrizen A,B (n x n) über einem Körper K gegeben. Desweiteren gilt: Es existieren k, l (natürliche Zahlen), sodass: (Einheitsmatrix) => B nilpotent Zu zeigen: (A-B) ist invertierbar <=> AB = BA Außerdem soll die Inverse angegeben werden. Meine Ideen: Zunächst mal ist denke ich diese Formel aus der vorherigen Teilaufgabe wichtig: ist nxn Einheitsmatrix und Außerdem denke ich, dass am Ende der Herleitung irgendetwas in der Form da stehen müsste, wobei dann (...) definitionsgemäß die Inverse darstellt. Analog dazu geht auch die Herleitung der Inverse von : Während die Inverse von A, wenn ichs richtig verstanden hab, einfach bzw. ein beliebiges Vielfache von k abzüglich 1 ist. Hat mir aber bisher nicht viel geholfen, da es wohl keinen direkten Zusammenhang zwischen (A-B), (En - B)^-1 und A^-1 gibt. Außerdem gilt nach der Formel für A^k (und A^(n*k), also beliebiges Vielfache von k): Zur einfacheren Rechnung mit den Grenzen der Summen hatte ich mir überlegt, statt mit l und k zu rechnen das Produkt m = n*l zu bilden, da B^l = 0 für alle Potenzen größer l gilt und A^k = E für alle Vielfache von k. Wegen der Bedingung AB=BA denke ich, dass in irgendeinem Rechenschritt AB-BA (oder eine Summe davon) vorkommt. Allerdings habe ich das Gefühl, mich mit den Formeln ständig im Kreis zu drehen. Ich finde einfach keinen Ansatz um auf die o.g. Form E_n = (A-B)(...) zu kommen. Vielen Dank schonmal für die Hilfe. MfG, Alex |
||||
11.12.2010, 23:05 | Reksilat | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Inverse Matrix von (A-B), A^x = E, B nilpotent Hi Alex,
Das ist schon mal ein guter Ansatz, wobei es ja reicht, zu konstruieren, dass eine invertierbare Matrix ist. Zum Beispiel ist ja jede Potenz von invertierbar. Rechne doch mal aus. Gruß, Reksilat. |
||||
12.12.2010, 12:20 | AlexG | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hi, das wäre mit der Bedingung gerade Aber wie hilft mir das weiter? Auf die Form bin ich bislang auch noch nicht gekommen. |
||||
12.12.2010, 12:48 | Reksilat | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Von der Form habe ich doch auch gar nichts geschrieben. Immerhin kannst Du jetzt aber als schreiben. Nun ist nicht unbedingt invertierbar - wenn allerdings ist, dann wäre das gerade und somit invertierbar. Vielleicht kannst Du das ganze ja allgemeiner fortsetzen. |
||||
12.12.2010, 14:30 | AlexG | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hm, angenommen l sei größer als k und gerade, dann wäre Aber nun hab ich doch keine Möglichkeit mehr, das rauszuziehen, oder? |
||||
12.12.2010, 14:36 | AlexG | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hups, soll natürlich sein. Naja, wenn l eine Zweierpotenz wäre würde ich vielleicht eine Möglichkeit sehen, indem ich das immer weiter auflöse, aber davon kann ich ja nicht ausgehen. |
||||
Anzeige | ||||
|
||||
12.12.2010, 14:41 | Reksilat | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Geh mal in die andere Richtung, also starte mit und vergrößere die Potenzen immer. ist für alle invertierbar und ist für genügend große immer Null. |
||||
12.12.2010, 17:37 | AlexG | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also mit käme ich auf: Stimmt das? Ließe sich das dann umformen zu ? |
||||
12.12.2010, 19:29 | Reksilat | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, so könnte man es machen. Denk daran, dass ist und somit . Gruß, Reksilat. |
||||
13.12.2010, 16:05 | AlexG | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Alles klar, vielen Dank für die Hilfe |
|
Verwandte Themen
Die Beliebtesten » |
|
Die Größten » |
|
Die Neuesten » |
|