E(X*Y) bei stetiger Verteilung von X, Y

11.12.2010, 02:42	Nali	Auf diesen Beitrag antworten »
*E(XY) bei stetiger Verteilung von X, Y** Hallo, folgendes Bsp: Ein Punkt (X, Y) wir zufällig in einem Kreis (Nullpunktlage) gewählt. Dichtefkt daher: $\begin{eqnarray} f(x,y)=\frac{1}{\pi} \end{eqnarray}$ falls $\begin{eqnarray} x^2+y^2<1 \end{eqnarray}$ Randdichte: $\begin{eqnarray} f1(x)=\int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} \! \frac{1}{\pi} \, dx = \frac{2}{\pi}\sqrt{1-x^2} \end{eqnarray}$ Selbe für Y Kovarianz: $\begin{eqnarray} Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} E(X)=\frac{2}{\pi} \int_{-1}^1 \! x\sqrt{1-x^2} \, dx = 0 \end{eqnarray}$ Selbe für Y nur wie berechne ich jetzt E(XY)? E(XY) ist bei einer stetigen Verteilung von X, Y ja nur dann E(X)E(Y), wenn unabhängig - und das ist hier nicht der Fall Bitte bitte erklärt mir, wie ich E(X*Y) rauskrieg
11.12.2010, 07:44	Black	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} E(XY)= \int_\Omega \! XY \, dP = \int_{\mathbb R^2} \! xy\, dP_{X\otimes Y}=\int_{\mathbb R^2} \! xy \cdot f(x,y) \, dx dy \end{eqnarray}$
11.12.2010, 19:04	Nali	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke ) Also $\begin{eqnarray} E(XY)=\int_{x=-1}^1 \! \int_{y=-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} \! xy\frac{1}{\pi} \, dy \, dx = 0 \end{eqnarray*}$ oder?
11.12.2010, 19:26	Nali	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm jetzt gibt's da noch ein Zusatzbeispiel zu dem, das ich nicht so ganz durchblick... $\begin{eqnarray} D=\sqrt{x^2+y^2} \end{eqnarray}$ ist der Abstand des Zufallspunktes (X,Y) vom Nullpunkt... Bestimme Verteilungsfunktion (auch mit geometrischer Überlegung möglich). Hm mir fehlt da irgendwie der Ansatz, kann mir das nicht so ganz vorstellen wie die Verteilungsfkt aussehen könnte
11.12.2010, 20:24	Black	Auf diesen Beitrag antworten »
Soll er denn auch gleichverteilt sein?
11.12.2010, 20:50	Nali	Auf diesen Beitrag antworten »
hmmm kA : D
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