Funktion bestimmen so, dass kein Extremum vorhanden ist

11.12.2010, 09:02

splatter92

Funktion bestimmen so, dass kein Extremum vorhanden ist

Meine Frage:
Hallo,
ich bin gerade dabei für meine Mathe Klausur zu lernen und habe folgende Aufgabe gefunden:

Bestimmen sie k so, dass es kein extremum gibt.

fk(x)=-x^3+kx^2+(k-1)x

Meine Ideen:
Mir ist die vorgehensweise klar, dass ich zunächst die ableitung gleich null setzte und x in Abhängigkeit von k setze. usw.
Nur um das aufzulösen brauche ich die pq formel und an dieser stelle komme ich nich weiter:

1/3k +- wurzel aus (1/9k^2+1/3k-1/3)

11.12.2010, 10:49

baphomet

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RE: Funktion bestimmen so, dass kein Extremum vorhanden ist
Deine Funktion lautet:

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^3+kx^2+(k-1)x \end{eqnarray*}$

Die erste Ableitung lautet somit:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=3x^2+2kx+(k-1)=x^2+\frac{2kx}{3}+\frac{(k-1)}{3} \end{eqnarray*}$

Erst bei der letzteren normalisierten Form kannst du die p-q Formel anwenden und
brauchst nur den Term unter der Wurzel zu betrachten.

11.12.2010, 14:11

mYthos

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RE: Funktion bestimmen so, dass kein Extremum vorhanden ist
@Baphomet
Das (die Ableitung und die quadr. Gleichung erstellt) hat er ja ohnehin alles gemacht.
Allerdings hat er dann die Formel falsch angewandt:

Zitat:

Original von splatter92
...
1/3k +- wurzel aus (1/9k^2+1/3k-1/3)

Die Formel heisst richtig (!)

$\begin{eqnarray*} x_{1,2} = -\frac p 2 \pm \sqrt{(\frac p 2)^2 - q} \end{eqnarray*}$

mY+

11.12.2010, 20:29

splatter92

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$\begin{eqnarray*} fk(x)=-x^3+kx^2+(k-1)x \end{eqnarray*}$

das ist meine funktion Augenzwinkern

das minus fehlte bei dir vor der x^3.

damit hab ich die pq- formel doch richtig angewandt, oder?

wenn ich jetzt nur die pq formel betrachte und diese gleich null setzte bedeteutet das ja das ich für 2 x-Werte ( bzw hier k-Werte) 0 bekomme.
um kein extremum zu bekommen müsste es unter der wurzel negativ werden.

mein ergebnis ist : -1,5 +- wurzel aus 5,25

also ist zwischen diesen beiden werten kein extremum vorhanden??

11.12.2010, 21:40

mYthos

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Uuups, das Minus dort war so winzig klein, dass es übersehen wurde.
Ja, in diesem Falle ist die quadratische Gleichung völlig richtig aufgelöst worden.
----------
Die Überlegung, dass die Wurzel negativ werden muss, und die beiden Lösungen stimmen ebenso.

Nun musst du nur noch nachsehen, in welchem Intervall, welches durch die beiden Lösungen bestimmt ist, die Wurzel negativ ist. Schreibe nochmal genauer, bei welchen (oder zwischen welchen) Werten die gestellte Bedingung erfüllt ist.

mY+

12.12.2010, 16:31

splatter92

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die konkrteten werte sind ~-3,7912 und ~0.791

ich rechne mich hier tot -.-
gibt es eine möglichkeit das herauszufinden ohne zahlen davor und dahinter einsetzen zu müssen?
____________________________

und dann hätt ich nochmal eine frage:
man soll zeigen das sich die funktionsgraphen genau in zwei punkten schneiden

meine idee: die gleichung gleichsetzen und k durch zb. s ersetzen.

dann habe ich $\begin{eqnarray*} -x^3+k*x^2+(k-1)*x=-x^3+s*x^2+(s-1)*x \end{eqnarray*}$

am ende bekomme ich dann $\begin{eqnarray*} k*x+k=s*x+s \end{eqnarray*}$

das hilft mir aber irgendwie nicht unglücklich

danke für die hife bis dahin schonmal smile

Edit (mY+): Doppelpost zusammengefügt. Vermeide bitte Mehrfachposts, indem du die Edit-Funktion verwendest!

12.12.2010, 20:47

mYthos

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Zur ersten Frage (Parameter k):
Die quadratische Ungleichung für k lautet

$\begin{eqnarray*} k^2 + 3k -3 < 0 \end{eqnarray*}$

mit den von dir berechneten richtigen Lösungen der Null gesetzten quadratischen Gleichung. Bei jeder der beiden Lösungen tritt Vorzeichenwechsel im Ungleichungsterm ein. Somit musst du nur jenes Intervall aussuchen, in welchem der Ungleichungsterm negativ ist. Dazu genügt (wegen der Stetigkeit) eine Stichprobe aus dem entsprechenden Intervall oder Plotten des Graphen der Funktionsgleichung.

Zum Zweiten:
Es ist richtig, zwei voneinander verschiedene Parameter r und s einzusetzen.
Deine Gleichung am Ende stimmt auch, also bist du schon nahe an der Lösung.
Stelle die Gleichung so um, dass du aus den x-Gliedern x ausklammern kannst. Dann solltest du sehen, dass die ganze Gleichung durch $\begin{eqnarray*} r - s \neq 0 \end{eqnarray*}$ zu kürzen ist ...

mY+

12.12.2010, 21:41

splatter92

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$\begin{eqnarray*} x= (s-k) / (k-s) \end{eqnarray*}$

?

12.12.2010, 22:28

mYthos

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Und was hindert dich daran, dies weiter zu berechnen? [Faktorisieren, kürzen]

mY+

13.12.2010, 13:24

splatter92

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dann bekomme ich x=-1 raus..
mir ist die bedeutung aber irgendwie nicht klar verwirrt

13.12.2010, 13:38

mYthos

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Ich hab' gerade gesehen, dass deine Endgleichung doch nicht ganz gestimmt hat (bzw. zwar richtig, aber unvollständig war), denn die $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ -Glieder hast du vergessen bzw. einfach durch x dividiert, was man aber nicht so einfach machen darf, da auch x = 0 möglich ist.

Richtig ist

$\begin{eqnarray*} x^3 + rx^2 + (r-1)x - x^3 -sx^2 + (s-1)x = 0 \end{eqnarray*}$

und daraus folgt nach Ausklammern und Division durch (r - s) die Gleichung

$\begin{eqnarray*} x^2 + x = 0 \end{eqnarray*}$

Und das liefert eben die x-Werte der 2 Schnittpunkte.

mY+

13.12.2010, 14:32

splatter92

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okay dankeschön smile

)

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