Konvergenz einer bestimmten Reihe mit Wurzel, aber ohne Quotientenkriterium

11.12.2010, 15:13

Jormungand

Konvergenz einer bestimmten Reihe mit Wurzel, aber ohne Quotientenkriterium

Hallo,
ich habe eine bestimmte Reihe gegeben und soll zeigen, dass das Wurzel- aber nicht das Quotientenkriterium gilt. Ich habe mit dem Wurzelkriterium mal angefangen:

Es geht um folgende Reihe:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty 2^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor} \end{eqnarray*}$

Das Wurzelkriterium besagt ja, dass folgende Aussage < 1 sein muss.
$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{\vert2^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}\vert} \end{eqnarray*}$

Umgeformt zu:
$\begin{eqnarray*} (\vert\frac{1}{2^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}}\vert)^{\frac{1}{n}} \end{eqnarray*}$

und weiter zu:
$\begin{eqnarray*} \vert\frac{1^{\frac{1}{n}}}{(2^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor})^{\frac{1}{n}}}\vert \end{eqnarray*}$

Ergibt sich dann dies.
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt[n]{(2^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor})}} \end{eqnarray*}$

Aber wenn ich n gegen unendlich laufen lasse strebt es doch insgesamt gegen 1 oder nicht?

Beim Quotientenkriterium habe ich folgendes:

Diese Aussage muss ja auch < 1 sein.
$\begin{eqnarray*} \vert\frac{2^{\lfloor\frac{n+1}{2}\rfloor}}{2^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}}\vert \end{eqnarray*}$

Da ich die Betragstriche weglassen kann und umforme komme ich zu diesem hier.
$\begin{eqnarray*} \frac{2^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}}{2^{\lfloor\frac{n+1}{2}\rfloor}} \end{eqnarray*}$

Hier scheine ich etwas wie $\begin{eqnarray*} \frac{\infty}{\infty} \end{eqnarray*}$ zu bekommen.
Aber das sagt auch nicht wirklich etwas aus, oder?

Muss ich bei meinen Ansätzen noch mehr umformen oder ist generell etwas falsch in meinen Umformungsschritten?

Danke schonmal.

11.12.2010, 16:41

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Konvergenz einer bestimmten Reihe mit Wurzel, aber ohne Quotientenkriterium

Zitat:

Original von Jormungand
Das Wurzelkriterium besagt ja, dass folgende Aussage < 1 sein muss.
$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{\vert2^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}\vert} \end{eqnarray*}$

Das besagt es genau genommen nicht, aber viel schlimmer ist dieses:

Zitat:

Original von Jormungand
Umgeformt zu:
$\begin{eqnarray*} (\vert\frac{1}{2^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}}\vert)^{\frac{1}{n}} \end{eqnarray*}$

Was hast du denn für eine Umformung gemacht? verwirrt

Im übrigen ist diese ganze Rechnung eh für die Tonne, da man sich leicht überlegen kann, daß jeder Summand >= 1 ist, was einem sofort was über das Konvergenzverhalten der Reihe sagt.

11.12.2010, 16:55

Jormungand

Auf diesen Beitrag antworten »

Naja was heißt Umformung, im Grunde ja nur als Exponentenschreibweise.
Ich habe beim Wurzelkriterium natürlich den Limes vergessen, für den das ganze dann gegen < 1 streben muss, das ist mir bewusst.

Da diese Reihe aber offensichtlich laut Aufgabenstellung das Wurzelkriterium erfüllt müsste sie doch trotz Summanden die >= 1 sind konvergieren, oder irre ich mich da?

11.12.2010, 17:21

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Jormungand
Naja was heißt Umformung, im Grunde ja nur als Exponentenschreibweise.

So?

Also die "Regel" $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{x} = (\frac1 x)^{1/n} \end{eqnarray*}$ habe ich noch nirgends gesehen.

Zitat:

Original von Jormungand
Da diese Reihe aber offensichtlich laut Aufgabenstellung das Wurzelkriterium erfüllt müsste sie doch trotz Summanden die >= 1 sind konvergieren

Wie arg muß man sein Hirn verbiegen, um sowas selbst zu glauben?

11.12.2010, 17:47

Jormungand

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich muss die Ausgangsreihe korrigieren, da ist mir beim Abtippen wohl ein Fehler unterlaufen .. Ich habe das Minus vergessen, und dennoch den Kehrwert gebildet, was natürlich falsch war. In der berichtigten Form macht der Kehrwert aber natürlich Sinn.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty 2^{-{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}} \end{eqnarray*}$

Das Wurzelkriterium besagt ja, dass für folgende Aufgabe der Limes von $\begin{eqnarray*} n -> \infty < 1 \end{eqnarray*}$ sein muss.
$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{\vert2^{-{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}}\vert} \end{eqnarray*}$

Umgeformt zu:
$\begin{eqnarray*} (\vert\frac{1}{2^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}}\vert)^{\frac{1}{n}} \end{eqnarray*}$

und weiter zu:
$\begin{eqnarray*} \vert\frac{1^{\frac{1}{n}}}{(2^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor})^{\frac{1}{n}}}\vert \end{eqnarray*}$

Ergibt sich dann dies.
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt[n]{(2^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor})}} \end{eqnarray*}$

Dies müsste von der Form her zumindest passen.
Was die Summanden Ihrer Aussage betrifft stehe ich aber gerade etwas auf dem Schlauch. Wenn die Summanden >= 1 sind, und das ganze nicht beschränkt ist, würde es ja divergieren.

11.12.2010, 18:42

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Jormungand
Wenn die Summanden >= 1 sind, und das ganze nicht beschränkt ist, würde es ja divergieren.

Wenn es so wäre, dann ja. Aber jetzt haben wir eine andere Ausgangslage. Jetzt kannst du meinetwegen auch das Wurzelkriterium anwenden, wobei du noch in geeigneter Weise die Abrunden-Funktion berücksichtigen mußt.

13.12.2010, 14:44

Jormungand

Auf diesen Beitrag antworten »

Also was die Gaußklammer betrifft würde ich sie vermutlich weglassen, da sie nahezu unerheblich ist, wenn ich n gegen unendlich laufen lasse. Kann ich dies zu vereinfachung annehmen?

Dann würde sich nämlich ohne Gaußklammer folgendes ergeben:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$

Und dies ist ja auf jeden Fall < 1

Wäre dies eine Möglichkeit?

13.12.2010, 15:07

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Damit der Beweis keinen faden Beigeschmack bekommt, würde ich eher die Partialsummen betrachten:

$\begin{eqnarray*} S_k := \sum\limits_{n=0}^k 2^{-{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}} \end{eqnarray*}$

und diese für k=2m bzw. k=2m+1 separat betrachten.

Neue Frage »

Antworten »

Konvergenz einer bestimmten Reihe mit Wurzel, aber ohne Quotientenkriterium

Verwandte Themen