exponentielles Wachstum

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11.12.2010, 15:22	Opheliac	Auf diesen Beitrag antworten »
exponentielles Wachstum Meine Frage: Hi, Ich habe folgende Aufgabe: Der Baumbestand eines Waldes nimmt jährlich um einen bestimmten Prozentsatz zu. Wieviel Prozent beträgt der jährliche Zuwachs, wenn sich der Baumbestand in 20 Jahren verdoppelt hat? Ich weiß nicht wirklich, wie man das lösen soll, wenn man keinen konkreten Wert als Ausgangsbestand hat.. Meine Ideen: Habe im Internet folgende Formel gefunden: t=(log2/log(a)) , wobeo a die Änderungsrate ist. wenn ich jetzt einsetze: 20=log(2)/log(a) und umstelle: geteilt durch o,3 66,667=log(a) und dann den logarithmus von 66,66667 ziehe 1,823=a Ich habe jetzt zwar was raus, aber ist das dann direkt der Prozentsatz, um den der Wald pro Jahr wächst, oder ist das komplett die Falsche Formel? Bei sowas komme ich immer so schnell durcheinander^^
11.12.2010, 15:43	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Es würde mich stark wundern, wenn Du eine (nicht-Standard) Formel, die Du irgendwo im Internet findest für deine Aufgabe verwenden darfst, ohne sie selber herleiten zu können. Versuch doch erst einmal mit dem anzufangen, was Du hast: Das Wachstum. Aus den Angaben in der Aufgabe kannst Du die Wachstumsfunktion des Baumbestands aufstellen. Überlege Dir dann, wie sich die Verdopplung in eine Gleichung fassen lässt.
11.12.2010, 15:53	Opheliac	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi Also, dass ich einfach ne standard Formel nehme ist kein Problem^^ Brauche das für nen Übungszettel und da muss keine Formel herleiten... Aber nagut... Hm.. das Wachstum habe ich doch gar nicht?! Das ist doch das, was gesucht ist, oder nicht? Also, wenn der Baumbestand x ist, ist der Bestand in 20 Jahren 2x... Viel mehr Infos hab ich doch dann eigentlich auch gar nicht...
11.12.2010, 15:55	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Wozu dann die Überschrift? Du weisst also anscheinend auch, dass es sich um exponentielles Wachstum handelt, das immer eine bestimmte Formel aufweist.
11.12.2010, 16:03	Opheliac	Auf diesen Beitrag antworten »
Hehe^^ Ja, die Formel lautet ja dann: N(t)=No*a^t wobei No= Ausgangsbestand a= Änderungsrate t=Zeit Mein Probelm ist aber, wie ich ja schon gesagt habe, ich kein konkreten Wert für den Ausgangsbestand No habe... und N habe ich auch nicht... Was soll ich dann also einsetzen? hab ja nur t=20 und a ist gesucht... Deshalb habe ich nach einer anderen Formel gesucht... Oder kann ich mir irgendwa aussuchen, was ich für N und No einsetze?
11.12.2010, 16:05	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Der "Witz" ist: Du brauchst die genauen Angaben auch gar nicht. Du weisst, dass sich der Baumbestand verdoppelt. Was bedeutet dies für N(t)? Gesucht wird das jährliche Wachstum, wo findet sich das in der Formel wieder? Wenn Du diese beiden Fragen beantwortet hast, bist Du der Lösung schon sehr nahe.
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11.12.2010, 16:09	Opheliac	Auf diesen Beitrag antworten »
Erstmal danke für deine Zeit! naja, N(t) ist dann 2*No Und das jährliche Wachstum ist a... aber irgendwie will mir das Licht nicht aufgehen^^
11.12.2010, 16:13	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Und nach welcher Zeit tritt das ein? Das ganze einfach noch in die Formel einsetzen und dann bist Du nahezu fertig.
11.12.2010, 16:14	Opheliac	Auf diesen Beitrag antworten »
So, hab jetzt einfach mal irgendwelche Zahlen eingesetzt: 120=60*a^20 -> geteilt durch 60 und 20. Wurzel gezogen a= 1,035264924 und wenn man andere Zahlen einsetzt bekommt man das gleiche raus^^ Aber ist wahrscheinlich kein sehr eleganter Weg das ganze zu lösen^^
11.12.2010, 16:16	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, du merkst ja, dass die Zahlen egal sind (wie oben ja schon gesagt). Also kannst Du den Anfangsbestand ja auch mit $\begin{eqnarray} N_0 \end{eqnarray}$ bezeichnen. Die Umformungen sind im Prinzip dieselben.
11.12.2010, 16:16	Opheliac	Auf diesen Beitrag antworten »
also wächst der Bestand dann um 1,0352etc. Prozent im Jahr?! Ist das so in Ordnung? Und kann ich dir noch eine ähnliche Frage stellen?
11.12.2010, 16:18	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Nicht ganz. Der neue Bestand ist das 1,0352-fache vom alten, aber er wächst deshalb nicht um 1,0352.
11.12.2010, 16:23	Opheliac	Auf diesen Beitrag antworten »
Och nö... ich dachte ich hätts jetzt Hm... keine Ahnung, wie rechne ich denn das jetzt um?
11.12.2010, 16:25	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Sagen wir mal so: Wenn Du 100 Euro hast und im nächsten Monat 105 Euro, dann ist das das 1,05-fache. Aber wieviel Prozent (=von hundert) hast Du dann dazubekommen?
11.12.2010, 16:27	Opheliac	Auf diesen Beitrag antworten »
Durch 100 teilen oder Mal nehmen kanns ja nicht sein...?! Da würde die Zahl ja zu klein oder zu groß... Bin total ratlos
11.12.2010, 16:28	Opheliac	Auf diesen Beitrag antworten »
Durch 100 teilen oder Mal nehmen kanns ja nicht sein...?! Da würde die Zahl ja zu klein oder zu groß... Bin total ratlos Edit: Moment....
11.12.2010, 16:31	Opheliac	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei deinem Beispiel wäre es ja um 5 % gewachsen... Und bei meiner Aufgabe wären es dann ca. 3,5% ?!
11.12.2010, 16:31	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, genau so. Hab nun aber nicht mehr so viel Zeit, also wenn deine Zweite Frage kurz zu beantworten ist, kann ich das noch machen, ansonsten müsste sich jemand anderes darum kümmern. (Oder Du wartest drei Stunden auf die Antwort)
11.12.2010, 16:35	Opheliac	Auf diesen Beitrag antworten »
Also, ich hab Zeit^^ Der Zettel muss erst am Donnerstag fertig sein... Aber erstmal super vielen Dank für deine Hilfe!!! Echt super! Ich tipp sie mal eben ab... und meine Ideen auch dazu^^
11.12.2010, 16:42	Opheliac	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Gewächshausfolie besteht aus verschiedenen Folienschichten gleicher Stärke. Beim Durchdringen einer Schicht verliert ein Lichtstrahl 1/15 seiner Helligkeit. Aus wevielen Schichten besteht die Folie, wenn im Gewächshaus nur noch die halbe Helligkeit eines Strahls gemessen wird, als außerhalb? Ich würde hier die Gleiche Formel benutzen, wie eben auch. Nur für N(t) würde ich 15/15 einsetzen, für No= 7,5/15 und für a= -(1/15) und dann nach t umstellen?!
11.12.2010, 16:46	Opheliac	Auf diesen Beitrag antworten »
Hab das jetzt einfach mal gemacht... Allerdings gings nicht mit -(1/15), hab deshalb das ganze einfach positiv genommen... Das negative Endergebnis nehme ich jetzt einfach positiv^^ Dann wären das 3,9 (also ca. 4) Folienschichten, die durchdrungen werden...?!
12.12.2010, 02:42	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist nun doch eine etwas längere Pause geworden. Der Fehler in Deiner Rechnung ist das No. Damit ist der Anfangsbestand der Helligkeit gemeint bevor es die Scheiben durchdringt. N(t) ist die Helligkeit nach Durchdringen von t Schichten. Auch hast Du wieder denselben Fehler mit der Abnahme gemacht. a gibt nicht die Abnahme in Prozent an, sondern den Abnahmefaktor.
12.12.2010, 15:40	Opheliac	Auf diesen Beitrag antworten »
Ups, also dann wäre No 15/15 und N(t) 7,5/15. Aber was soll ich denn sonst für a einsetzen? 1/15 ist doch nicht in Prozent?! Das wären ja 15%
12.12.2010, 19:16	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Weiss grad nicht wieso Du Dich auf 7/15 eingeschossen hast, aber prinzipiell ist das als Wert natürlich möglich. Sinnvoller wären aber 1 und 0,5 (Für Helligkeit in Relation zur Außenhelligkeit) oder noch besser No und (1/2)No. Bei der Abnahme machst Du wieder denselben Fehler wie bei der ersten Aufgabe: a ist nicht die Abnahme, sondern der Abnahmefaktor, also musst Du Dir überlegen, das wievielfache der ursprünglichen Helligkeit nach Durchdringen einer Schicht noch da ist.
13.12.2010, 13:03	Opheliac	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, habe 7,5/15 gewählt, weil das die hälfte von 15/15 ist... und 15/15 habe ich genommen, weil die Strahlen an 1/15 verlieren, wenn sie durch die Folie dringen... Müsste ich für a dann 1,05 nehmen..., weils ja 15% sind, die pro Folie verloren gehen?!
13.12.2010, 15:12	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Überleg doch mal: Wenn 15% verloren gehen ist hinterher das 1,05-fache an Helligkeit da ?? Kann jawohl nicht so ganz stimmen.
13.12.2010, 17:04	Opheliac	Auf diesen Beitrag antworten »
Das macht mich echt fertig Naja, hatte jetzt gedacht, dass jedesmal das 1,05 fache verloren geht, wenn ne Folie durchquert wird^^ Übrig bleiben ja 50% am Ende wenn X-Folien durchquert sind. (aber 1,15 wären ja auch 15%, oder!?) Vielleicht das ganze negativ, weils ja abnimmt? Was könnte es denn sonst noch sein, muss ja irgendwas mit dem 1/15 auf sich haben... 10-1,15 ist ja auch nicht logisch, weil die Zahl dann zu groß würde... Ich hab echt kein Plan sonst Kann ja nicht so schwer sein (eigentlich), wenn ich es bei der anderen Aufgabe auch gemacht hab...
13.12.2010, 21:32	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich denke es wird das beste sein, Du löst Dich erst einmal von der Formel und dem Ziel die Hälfte der Lichstärke zu erreichen. Wichtig ist, dass Du Dir klar wirst, was bei einem einzigen Schritt passiert. (Was eigentlich immer das Geheimnis der Wachstumsaufgaben ist, um die Formel aufzustellen) Das Licht hat zu Beginn eine Helligkeit von 100% und verliert dann bei der ersten Schicht 15%, wieviel ist dann also noch übrig? Das in Dezimal geschrieben (1 Prozent = 1/100) ist der "Wachstums"faktor. Wenn Du das herausgefunden hast, kannst Du dir Formel für N(t) aufstellen und schließlich nachrechnen, wann N(t)=(1/2)No ist.

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