Abzählbarkeit von unendlichen Mengen

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pansox Auf diesen Beitrag antworten »
Abzählbarkeit von unendlichen Mengen
Hallo liebe Mathematiker,

ich sitze schon wieder seit gestern an der folgenden Aufgabe:

Gegeben seien drei paarweise disjunkte, abzählbar unendliche Mengen mit drei bijektiven Abbildungen und eine
zweielementike Menge B = {}

Ich soll zeigen, dass die Menge M = ebenfalls abzählbar unendlich ist, in dem ich eine bijektive Funktion g: erzeugen soll. Den Nachweis der Bijektivität der Funktion g soll über eine Umkehrabbildung realisiert werden.

Angeblich soll die Aufgabe total einfach sein, aber ich finde einfach keinen Ansatz.

Mir ist die Aufgabe inhaltlich total klar, nur mir fehlt eine Herangehensweise.

Vielleicht ist ja jemand so nett und gibt mir einen Tipp.

Vielen Dank!
pansox
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Ist B ebenfalls disjunkt zu den A_i?

Als Idee: Lasse einen Modulo 3 Zähler mitlaufen und teile so die natürlichen Zahlen in 3 Mengen mit natürlichen Zahlen auf.
pansox Auf diesen Beitrag antworten »

Entschuldige, ja, B ist zu allen disjunkt!

pansox
pansox Auf diesen Beitrag antworten »

Danke zunächst für den Tipp.

Dann habe ich somit also für jedes die Funktion , richtig?

Aber dann habe ich doch keine Möglichkeit mehr die natürlichen Zahlen auf B abzubilden, oder?

Ich glaube mir fehlt der generelle Weg, zur Lösung einer solchen Aufgabe :-(

Gruß
pansox
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Rein intuitiv macht es doch nichts aus ob die natürlichen Zahlen bei 0 oder bei 2 anfangen, also kannst das B immer noch dazubauen. Überlege dir erst einmal informal wie es funktionieren kann, das kann ruhig auch mit Bildern sein. Das Formale kommt immer erst nachdem man die Idee dazu hat.
pansox Auf diesen Beitrag antworten »

Angenommen ich definiere die drei Mengen wie folgt:





Dann weiß ich ja, 1. alle sind paarweise disjunkt und bei einer Vereinigung lässt sich jede natürliche Zahl auf ein abbilden.

und

, wobei n=a

Wenn ich nun noch die zwei Elemente von B dazu habe möchte, kann ich dann also, an Ahnlehnung an deinen letzten Post, sagen:






Macht das Sinn?

Danke nochmals!
pansox
 
 
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

A_1,A_2 und A_3 gibt es doch schon in der Aufgabe. Denk eher mal drüber nach was dir diese Zerlegung jetzt für die Aufgabe bringt.
pansox Auf diesen Beitrag antworten »

Ich raffs einfach nicht, sorry :-(
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt hier nichts zu "raffen". Du solltest selbst etwas darüber nachdenken, in der Uni geht es nicht mehr nur darum die Gedanken andere zu verstehen. Lass die Tipps etwas in dir gären und denk im Unterbewusstsein weiter darüber nach. Male dir vllt. auch Bilder oder ähnliches.

Wenn ich dir jetzt die Lösung hinklatsche bringt dir das null.
pansox Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du wüsstest, wie viele Blätter ich hier schon vollgemals vor mir liegen habe .. und gedanken zu dieser Aufgabe mache ich mir seit Freitag. Und ich bin mir nicht sicher, ob ich da von alleine darauf komme, deswegen meine Frage hier.

Und eine Lösung möchte ich auch gar nicht, und deshalb finde ich den Tipp von dir ja schon mal sehr gut, mit dem mod 3.

Nur ich verstehe nicht, was ich davon habe, die natürlichen Zahlen in drei Mengen aufzuteilen. A_i bleibt für mich ja unberührt.

Ist denn mit gemeint, dass z.B. die 1 in jedem der A_i auf ein Element abgebildet wird, also dass ich bei der Vereinigung das Problem hätte, dass die 1 auf drei Elemente abgebildet werden könnte? Oder bedeutet dass, dass ein N existiert, dass auf A_i abgebildet wird?

Danke dir!

//Edit:


Was ist denn, wenn ich mir die von dir angesprochenen Teilmengen von N erzeuge, die jeweils die Zahlen mit einem Rest 0,1 oder 2, der beim Teilen durch 3 entsteht, beinhalten. Nennen wir sie N_0, N_1, N_2

Kann ich jetzt sagen,


? Ändere ich damit etwas an der Voraussetzung? Bijektiv müssten sie doch immer noch sein, oder?

Wenn ich dann Vereinige, gibt es dann ja eine direkte Zuordnung von
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Ich ziehe es vor das Konzept der Funktion dir nicht zu erklären, das schlägst du lieber selbst nach.

Die Idee ist folgende: Teile disjunkt auf, wobei die B_i gleichmächtig zu N sind, es existieren also bijektive Funktionen . Diese kannst du zusammen mit den f_i verknüpfen um eine bijektive Abbildung zu finden.
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