Kurvendiskussion einer gebrochen Rationalen Funktion

Neue Frage »

11.12.2010, 15:58	DS	Auf diesen Beitrag antworten »
Kurvendiskussion einer gebrochen Rationalen Funktion Meine Frage: Ich versuche eine Kurvendiskussion zur Funktion f(x)= 2x³/4x-2 zu machen. Bin mir da ein wenig unsicher... wäre super wenn da jmd. drübergucken könnte :P Ich hatte Probleme bei: Verhalten an den Rändern des Definitionsbereiches Extrema und Wendepunkte Und ich bin mir bei den Ableitungen nicht 100% sicher. Meine Ideen: Symmetrie: f(x) = f(-x) 2x³/4x-2 = -2x³/-4x-2 Keine Achsensymmetrie erkennbar f(x) = -f(-x) -2x³/4x+2 Keine Punktsymmetrie erkennbar Schnittpunkte mit der X-Achse: Z(x)=0 <=> x=0 Ns(0\|0) Schnittpunkt mit der Y-Achse: f(0) = 0 Sy(0\|0) Definitionsbereich: N(x)=0 <=> x=0,5 D=R\(0,5) Verhalten an den Rändern des Definitionsbereiches: Da habe ich versucht die Asymptote mit Hilfe einer Polynomdivision zu berechnen, d.h. Zähler / Nenner (2x³)/(4x-2)= 0,5x²+x/2 -(2x³-1x²) Rest: x² Hierbei weiß ich einfach nicht wie weit ich die Polynomdivision machen soll. Wenn ich hier aufhöre bekomme ich ja für den gebrochenrationalen Teil etwas, was bei x gegen unendlich nicht 0 wird. Bei meinen anderen Aufgaben war der gebrochenrationale Teil immer egal, weil er z.B. 1/x war und somit gegen 0 lief. Danach habe ich die Ableitungen gemacht, damit ich Extremstellen und Wendestellen berechnen kann: f`(x) = 6x²/8x² f``(X) = 12x / -16x³ f```(x) = 12/ 48x^4 Extrema: notwendige bedingung: f`(x) = 0 Jetzt kommt das nächste Problem: Der Definitionsbereich der 1. Ableitung müsste ja D=R\(0) sein, da ich nicht durch 0 teilen darf. Da der Zähler aber nur = 0 sein kann, wenn man 0 einsetzt, hat die Funktion keine Extrema, oder? ( Das gleiche kommt bei den Wendepunkten auch vor).
11.12.2010, 16:04	baphomet	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvendiskussion einer gebrochen Rationalen Funktion Symmetrie und Schnittpunkte mit den Achsen sind soweit korrekt, dein Ausrechnen der Asymptote stimmt auch, womit du Aussagen des Verhaltens der Funktion im Unendlichen machen kannst. Die Definitonsmenge7Definitionsbereich stimmt, kannst jetzt noch Aussage treffen ob es sich bei x=0,5 um Polstelle handelt oder nicht. Aber deine Ableitungen sind falsch, du musst die Quotientenregel anwenden: $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{u}{v}<br /> <br /> f'(x)=\frac{u'v-uv'}{v^2} \end{eqnarray}$
11.12.2010, 16:23	Dome91	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ging ja schnell Die Quotientenregel kannte ich bis jetzt nicht... Also mal Schritt für Schritt: f´(x) = 6x²(4x-2) -2x³4 / (4x-2)² =24x³-12x²-8x³ / 16x²-16x + 4 =16x³-12x² / 16x²-16x+4 Ist das so richtig? und x= 0,5 kann eine Polstelle oder eine hebbare Lücke sein, oder? Da weiß ich aber leider auch nicht wie man das prüft...
11.12.2010, 16:28	baphomet	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei x=0,5 handelt es sich um eine Polstelle, denn nur der Nenner wird Null für x=0,5, außerdem sieht man das wenn man sich den Graphen zeichnen lässt. Ja deine erste Ableitung stimmt, aber ich schlage vor, das du den Nenner nicht ausmultiplizierts, denn so kann man die entstehende 2. Ableitung oft vereinfachen.
11.12.2010, 16:32	Dome91	Auf diesen Beitrag antworten »
Wäre es eine hebbare Lücke, wenn der Zähler und der Nenner für x=0,5 = 0 wäre? Ich habe gerade gelesen, dass das eine Bedingung wäre, aber dass man da noch etwas anderes überprüfen müsste, damit man weiß das es eine hebbare Lücke ist.
11.12.2010, 16:33	baphomet	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, so ist es.
Anzeige

13.12.2010, 19:17	Dome91	Auf diesen Beitrag antworten »
Noch eine Frage habe ich... Wie sieht das denn aus wenn ich die Funktion f(x)= 1 / 3x^3-7x ableiten soll? Weil mit der Quotientenregel ist das ja nicht so einfach wegen der 1
13.12.2010, 19:20	baphomet	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} f(x)= \frac{1}{3}x^3-7x \end{eqnarray}$ Da geht es ohne Quotientregel, einfach Potenzregel. Wenn du aber das meinst $\begin{eqnarray} f(x)= \frac{1}{3x^3-7x} \end{eqnarray}$ brauchst du die Kettenregel oder nutzt ebenfalls die Quotientenregel
13.12.2010, 19:49	Dome91	Auf diesen Beitrag antworten »
Tut mir leid ich sollte vllt mal den Formeleditor benutzen :P Ich meine die 2. Funktion. Wenn ich das mit der Kettenregel mache: $\begin{eqnarray} f`(x) = \frac{-1}{(3x^3-7x)^2} (9x^2-7) \end{eqnarray}$ Das könnte ich doch jetzt weiter ausrechnen, oder? $\begin{eqnarray} f`(x)=\frac{-1}{9x^4-6x^37x+49x^2} (9x^2-7) \end{eqnarray}$ und dann $\begin{eqnarray} f`(x)=\frac{9x^2-7}{9x^4-6x^37x+49x^2} \end{eqnarray}$
13.12.2010, 19:52	baphomet	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja stimmt, aber rechne den Nenner nicht aus, lass das so stehn, weitere Ableitungen kann man später so kürzen und das verkürzt den Term
15.12.2010, 17:58	Dome91	Auf diesen Beitrag antworten »
Noch eine Frage bezüglich der Ableitung: $\begin{eqnarray} f(x)= \frac{3}{\sqrt{x^3} } \end{eqnarray}$ Ich habe zwei verschiedene Lösungen raus. Einmal habe ich es mit der Kettenregel gelöst: $\begin{eqnarray} g(x)=\frac{3}{\sqrt{x} } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} h(x)= x^3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g`(x)=\frac{-3}{2\sqrt{x^3} } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} h`(X)=3x^2 \end{eqnarray}$ Dann in die Formel eingesetzt: $\begin{eqnarray} f`(x)=g`(h(x)) h`(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f`(x) = \frac{-3}{2\sqrt{x^6} } * 3x^2 \end{eqnarray}$ Das habe ich dasnn noch umgeformt: $\begin{eqnarray} f`(x)=\frac{-9}{2x} \end{eqnarray}$ Danach habe ich es noch mit der Produktregel oder wie die heißt probiert: $\begin{eqnarray} f(x)=3x^-\frac{3}{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f`(x)=-4,5x^-\frac{5}{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f`(x)= \frac{-4,5}{\sqrt{x^5} } \end{eqnarray*}$ Ist ja blöd wenn ich für die gleiche Funktion zwei verschiedene Ableitungen erhalte... Wäre super wenn jemand meine/n Fehler findet
15.12.2010, 18:02	baphomet	Auf diesen Beitrag antworten »
Du möchtest wissen ob deine ABleitung bezüglich dieser Funktion $\begin{eqnarray} f(x)= \frac{3}{\sqrt{x^3} }=3x^{-\frac{3}{2}} \end{eqnarray}$ korrekt sind. Deine letzte stimmt. Die Regel heißt Kettenregel.

Neue Frage »

Antworten »

Kurvendiskussion einer gebrochen Rationalen Funktion

Verwandte Themen