Tangentialraum [Diff.Geometrie]

11.12.2010, 17:31	Idiot	Auf diesen Beitrag antworten »
Tangentialraum [Diff.Geometrie] Hallo, wir haben nun in unserer Vorlesung den Tangentialraum an einer allg. Mannigfaltigkeit eingeführt. Wir haben diese als die Menge aller derivationen an einem Punkt definiert. Ich soll nun zeigen, dass wenn ich eine Derivation T (=Tangentialvektor) aus zwei verschiedenen Tangentialräumen wähle, dass diese Derivation dann die triviale derivation ist. Also T(f)=0 für alle f. Ich konnte dies bisher nicht zeigen. Wenn also $\begin{eqnarray} t \in T_pM \cap T_qM \end{eqnarray}$ für zwei verschiedene Punkte p,q. Dann gilt doch z.B. T(fg)=T(f)g(p)+f(p)T(g)=T(f)g(q)+f(q)*T(g) und noch viele andere Gleichungen. Konnte aber noch nicht zeigen dass dann T(f)=0 gelten muss. Muss ich evtl. eine andere schreibweise für meine Derivation wählen? Gruß
11.12.2010, 20:25	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, Wähle eine 'bump function' g, welche =1 in der Nähe des einen Punktes (p) (und lokal konstant) und = 0 beim anderen Punkt q (ebenfalls lokal konstant dort). Dann hast du $\begin{eqnarray} 0 = g(q) T(f) = T(fg) = \ldots \end{eqnarray}$
11.12.2010, 21:15	Idiot	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, vielen Dank für deinen Tipp. Aber könntest du mir noch erklären, wie du auf deine Gleichung kommst? Also wenn g unsere Funktion ist, welche meinetwegen konstant 1 ist (das dürfte auf dasselbe hinauslaufen schätze ich), dann würde gelten: T(fg)=T(f)g(p)+f(p)T(g)=T(f)+f(p)T(g) Analog könnten wir folgern T(fg)=T(f)+f(q)T(g) Aber ich sehe beim besten willen nicht, wie du auf deine Gleichung kommst. Grüße
11.12.2010, 21:22	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe folgene beiden Fakten benutzt: Für eine konstante Funktion c und jede Derivation gilt T(c) = 0. Ist T eine Derivation bei p und stimmen zwei Funktionen f, g auf einer offenen Umgebung von p überein, so gilt T(f) = T(g). Wenn ihr das noch nicht hattet, versuch es mal zu beweisen. Zumindest der erste Fakt ist definitiv nicht schwer einzusehen.
11.12.2010, 21:56	Idiot	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, vielen Dank für deine Hilfe! Ich konnte die Behauptung nun zeigen! Ich habe übersehen, dass du gefordert hast, dass g=0 in einer Umgebung vom Punkt q sein soll. Nur noch eine Sache, was garantiert mir denn, dass es solch ein g geben muss? Streng genommen, müsste man das ja auch zeigen oder? Weist du wie man da argumentieren könnte? Vielen Dank nochmal.
11.12.2010, 22:58	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Um das zu zeigen, betrachtet man eine Koordinatenkarte $\begin{eqnarray} (U, \varphi) \end{eqnarray}$ für p, so dass $\begin{eqnarray} q \notin U \end{eqnarray}$ (wir dürfen annehmen $\begin{eqnarray} \varphi(p) = 0 \end{eqnarray}$ und, dass der Einheitsball in $\begin{eqnarray} \varphi(U) \end{eqnarray}$ enthalten ist) und konstruiert lokal eine $\begin{eqnarray} C^\infty \end{eqnarray}$ -Funktion f mit $\begin{eqnarray} f(x) = 1 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} \|x\| < 1/3 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} f(x) = 0 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} \|x\| > 2/3 \end{eqnarray}$ . Dann setzt man diese fort auf der ganzen Mannigfaltigkeit, indem man $\begin{eqnarray} f(x) = 0 \end{eqnarray}$ setzt, wo f noch nicht definiert ist. Die lokale Konstruktion erfolgt normalerweise mit Hilfe von $\begin{eqnarray} h(x) = \begin{cases} e^{-1/x} & x > 0 \\ 0 & x \le 0 \end{cases} \end{eqnarray}$ Und dann sowas wie $\begin{eqnarray} f(x) = \frac{h(\frac 23 - \|x\|)}{h(\|x\| - \frac 1 3 ) + h(\frac 2 3 - \|x\|)} \end{eqnarray}$ (falls ich mich nicht verrechnet habe ...)
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