Grenzwert rekursiver Folge

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Q-fLaDeN Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert rekursiver Folge
Hallo Leute, hier mal die 1. Frage des heutigen Abends an euch.

Ich soll den Grenzwert der rekursiv definierten Folge mit





berechnen. Als Hinweis steht dabei, man soll zeigen, dass die Folge monoton wachsend ist und nach oben durch die 2 beschränkt ist.

Wie fang ich denn bei der Monotonie überhaupt an? Nach a_n umstellen oder wie? Und weiter?
Risuku Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, weise einfach nach das folgendes gilt:

für alle

Das zeigt dir Monotonie.
Q-fLaDeN Auf diesen Beitrag antworten »

Das heißt ich löse die Ungleichung



?

Da bekomme ich sowas raus



inwiefern soll mir das dann helfen? Hilft mir das dann erst weiter, wenn ich gezeigt habe, dass die Folge nach oben durch die 2 beschränkt ist?
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke da beim Monotoniebeweis eher an Vollständige Induktion - das klappt übrigens bei sämtlichen (!) rekursiven Folgen der Struktur



mit monoton wachsender Funktion , sofern nur der Induktionsanfang hinhaut.
Q-fLaDeN Auf diesen Beitrag antworten »

Das sieht mir irgendwie auch vielversprechender aus.

Also zeige ich



Induktionsanfang haut hin.

Ich muss also zeigen



Hm so komme ich aber irgendwie nicht zu . Wenn ich gleich schreibe




hätte ich ja nur die Monotonieeigenschaft und nicht die Induktionsvoraussetzung angewandt, das kann ja nicht passen.
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Induktionsschritt: Laut Induktionsvoraussetzung gilt , und darauf wendest du die monoton wachsende Funktion an, dann folgt

,

und das ist gleichbedeutend mit , womit die Induktionsbehauptung bereits bewiesen ist.


Ich habe es bewusst so geschrieben damit erkennbar ist, dass der Beweis auch für allgemeines monotones um keinen Millimeter komplizierter ist. Augenzwinkern
 
 
Q-fLaDeN Auf diesen Beitrag antworten »

Die Induktionsvoraussetzung ist also die Monotonie der Folge? verwirrt Sie müsste doch



lauten? (Wäre erstmal gut es noch nicht allgemein zu machen, das kann man hinterher immernoch)
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Etwas elementarer:

Augenzwinkern
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, manchmal ist die Kürze der Argumentation wohl ein richtiger Hemmschuh, sie zu begreifen. Augenzwinkern
Q-fLaDeN Auf diesen Beitrag antworten »

@ Iorek

Du hast doch nun aber auch als IV verwendet verwirrt
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Was soll denn sonst verwendet werden? verwirrt

Behauptung:

IA klappt, also nehmen wir in der Induktionsovraussetzung an und zeigen im Induktionsschritt dann, dass damit auch gilt.
Q-fLaDeN Auf diesen Beitrag antworten »

Oh mann, stand wohl gerade auf dem Schlauch. ist ja gerade und damit eben



So, dann muss ich noch die Beschränktheit zeigen.

Also





was ja stimmt, denn . Was mich nun allerdings wundert, ist, dass im Hinweis steht, man solle die Beschränktheit nach oben durch die Zahl 2 zeigen, dann wäre das ja nicht gegeben. Hab ich falsch gerechnet?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast eine weitere obere Schranke genommen die es tut, das ist auch legitim. Mit 2 hätte es aber auch funktioniert. Augenzwinkern

Die Hauptsache ist ja, dass es überhaupt eine obere Schranke gibt, du hättest dafür auch 10000 nehmen können.
Q-fLaDeN Auf diesen Beitrag antworten »

Das Problem ist nur, dass 1 keine obere Schranke ist, wie ich gerade feststelle...

Das heißt ich muss irgendeinen Fehler drinhaben. Also wie genau zeige ich



?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, hab die 1 in deinem letzten Beitrag gar nicht gesehen.

Die Beschränktheit lässt sich auch leicht mit Vollständiger Induktion nachweisen, der Induktionsanfang klappt (trivialerweise), dann nimmst du im IS wieder an, dass für ein und führst den Induktionsschritt durch.
Q-fLaDeN Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ok, mal wieder VI. Dann lautet der IS



Und damit wär ich fertig. Danke euch für die Hilfe.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Na, fertig noch nicht, schließlich will der Grenzwert ja noch bestimmt werden. Augenzwinkern

Bisher haben wir "nur" Monotonie und Beschränktheit, wissen also dass die Folge konvergiert, jetzt geht es an die Bestimmung des Grenzwerts.
Q-fLaDeN Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt ja, dachte gerade ich sollte nur die Konvergenz zeigen.

Wie mach ich das dann genau? Ich könnte versuchen zu zeigen, dass 2 das Supremum der Folge ist, aber vermutlich ist es das nicht nach ein paar Tests mit dem TR.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich richtig überschlagen habe, wird 2 nicht der Grenzwert sein.

Wir wissen die Folge konvergiert, also existiert ein mit , damit gilt aber natürlich auch . Mit den beiden Gleichungen kannst du den Grenzwert bestimmen.
Q-fLaDeN Auf diesen Beitrag antworten »



?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Kommt hin. smile
Q-fLaDeN Auf diesen Beitrag antworten »

Gut dann nochmals ein Danke an euch. Der Zusammenhang ist auch irgendwie faszinierend.
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