Grenzwert rekursiver Folge |
11.12.2010, 17:51 | Q-fLaDeN | Auf diesen Beitrag antworten » |
Grenzwert rekursiver Folge Ich soll den Grenzwert der rekursiv definierten Folge mit berechnen. Als Hinweis steht dabei, man soll zeigen, dass die Folge monoton wachsend ist und nach oben durch die 2 beschränkt ist. Wie fang ich denn bei der Monotonie überhaupt an? Nach a_n umstellen oder wie? Und weiter? |
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11.12.2010, 18:06 | Risuku | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ja, weise einfach nach das folgendes gilt: für alle Das zeigt dir Monotonie. |
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11.12.2010, 18:21 | Q-fLaDeN | Auf diesen Beitrag antworten » |
Das heißt ich löse die Ungleichung ? Da bekomme ich sowas raus inwiefern soll mir das dann helfen? Hilft mir das dann erst weiter, wenn ich gezeigt habe, dass die Folge nach oben durch die 2 beschränkt ist? |
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11.12.2010, 18:21 | René Gruber | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich denke da beim Monotoniebeweis eher an Vollständige Induktion - das klappt übrigens bei sämtlichen (!) rekursiven Folgen der Struktur mit monoton wachsender Funktion , sofern nur der Induktionsanfang hinhaut. |
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11.12.2010, 18:36 | Q-fLaDeN | Auf diesen Beitrag antworten » |
Das sieht mir irgendwie auch vielversprechender aus. Also zeige ich Induktionsanfang haut hin. Ich muss also zeigen Hm so komme ich aber irgendwie nicht zu . Wenn ich gleich schreibe hätte ich ja nur die Monotonieeigenschaft und nicht die Induktionsvoraussetzung angewandt, das kann ja nicht passen. |
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11.12.2010, 18:42 | René Gruber | Auf diesen Beitrag antworten » |
Induktionsschritt: Laut Induktionsvoraussetzung gilt , und darauf wendest du die monoton wachsende Funktion an, dann folgt , und das ist gleichbedeutend mit , womit die Induktionsbehauptung bereits bewiesen ist. Ich habe es bewusst so geschrieben damit erkennbar ist, dass der Beweis auch für allgemeines monotones um keinen Millimeter komplizierter ist. |
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11.12.2010, 18:53 | Q-fLaDeN | Auf diesen Beitrag antworten » |
Die Induktionsvoraussetzung ist also die Monotonie der Folge? Sie müsste doch lauten? (Wäre erstmal gut es noch nicht allgemein zu machen, das kann man hinterher immernoch) |
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11.12.2010, 18:55 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » |
Etwas elementarer: |
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11.12.2010, 18:57 | René Gruber | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ja, manchmal ist die Kürze der Argumentation wohl ein richtiger Hemmschuh, sie zu begreifen. |
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11.12.2010, 18:58 | Q-fLaDeN | Auf diesen Beitrag antworten » |
@ Iorek Du hast doch nun aber auch als IV verwendet |
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11.12.2010, 19:01 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » |
Was soll denn sonst verwendet werden? Behauptung: IA klappt, also nehmen wir in der Induktionsovraussetzung an und zeigen im Induktionsschritt dann, dass damit auch gilt. |
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11.12.2010, 19:12 | Q-fLaDeN | Auf diesen Beitrag antworten » |
Oh mann, stand wohl gerade auf dem Schlauch. ist ja gerade und damit eben So, dann muss ich noch die Beschränktheit zeigen. Also was ja stimmt, denn . Was mich nun allerdings wundert, ist, dass im Hinweis steht, man solle die Beschränktheit nach oben durch die Zahl 2 zeigen, dann wäre das ja nicht gegeben. Hab ich falsch gerechnet? |
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11.12.2010, 21:50 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » |
Du hast eine weitere obere Schranke genommen die es tut, das ist auch legitim. Mit 2 hätte es aber auch funktioniert. Die Hauptsache ist ja, dass es überhaupt eine obere Schranke gibt, du hättest dafür auch 10000 nehmen können. |
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12.12.2010, 11:10 | Q-fLaDeN | Auf diesen Beitrag antworten » |
Das Problem ist nur, dass 1 keine obere Schranke ist, wie ich gerade feststelle... Das heißt ich muss irgendeinen Fehler drinhaben. Also wie genau zeige ich ? |
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12.12.2010, 14:35 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » |
Oh, hab die 1 in deinem letzten Beitrag gar nicht gesehen. Die Beschränktheit lässt sich auch leicht mit Vollständiger Induktion nachweisen, der Induktionsanfang klappt (trivialerweise), dann nimmst du im IS wieder an, dass für ein und führst den Induktionsschritt durch. |
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12.12.2010, 14:43 | Q-fLaDeN | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ah ok, mal wieder VI. Dann lautet der IS Und damit wär ich fertig. Danke euch für die Hilfe. |
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12.12.2010, 14:45 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » |
Na, fertig noch nicht, schließlich will der Grenzwert ja noch bestimmt werden. Bisher haben wir "nur" Monotonie und Beschränktheit, wissen also dass die Folge konvergiert, jetzt geht es an die Bestimmung des Grenzwerts. |
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12.12.2010, 14:49 | Q-fLaDeN | Auf diesen Beitrag antworten » |
Stimmt ja, dachte gerade ich sollte nur die Konvergenz zeigen. Wie mach ich das dann genau? Ich könnte versuchen zu zeigen, dass 2 das Supremum der Folge ist, aber vermutlich ist es das nicht nach ein paar Tests mit dem TR. |
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12.12.2010, 14:52 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » |
Wenn ich richtig überschlagen habe, wird 2 nicht der Grenzwert sein. Wir wissen die Folge konvergiert, also existiert ein mit , damit gilt aber natürlich auch . Mit den beiden Gleichungen kannst du den Grenzwert bestimmen. |
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12.12.2010, 15:16 | Q-fLaDeN | Auf diesen Beitrag antworten » |
? |
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12.12.2010, 15:18 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » |
Kommt hin. |
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12.12.2010, 15:22 | Q-fLaDeN | Auf diesen Beitrag antworten » |
Gut dann nochmals ein Danke an euch. Der Zusammenhang ist auch irgendwie faszinierend. |
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